Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах

«Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой» Евклид

Аксиома, теорема и следствие :

Аксио́ма – исходное утверждение, принимаемое без доказательств.

Теоре́ма – утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений.

Следствие – утверждение, которое выводится непосредственно из теорем и аксиом.

Аксиома параллельных прямых

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной

М

b

a

Следствия из Аксиомы параллельных прямых

I

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую .

II

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Задачи из учебника

№ 198

p

c

a

K

b

N

1. т. к. a ⊥ р и b ⊥ р, то a ıı b.

2. т. к. с ∩ а, то с ∩ b (по следствию из аксиомы параллельных прямых).

Задачи из учебника

С

№ 199

В

А

р

• Т.к. АВ ıı р, а СВ ∩ АВ, значит, СВ ∩ р (следствие из аксиомы параллельных прямых).

2. Т.к. АВ ıı р, а СА ∩ АВ, значит, СА ∩ р (следствие из аксиомы параллельных прямых).

АВ ∩ р АЕ ∩ АД = А и АД ıı р = АЕ ∩ р АС ∩ АД = А и АД ıı р = АС ∩ р ВС ∩ АД = Д и АД ıı р = ВС ∩ р PQ ıı BC (по условию), ВС ∩ р (по доказанному) = PQ ∩ р (следствие 1). Что и т.д. " width="640"

Задачи из учебника

№ 200

А

р

Р

Q

С

В

Е

Д

АВ ∩ АД = А и АД ıı р = АВ ∩ р

АЕ ∩ АД = А и АД ıı р = АЕ ∩ р

АС ∩ АД = А и АД ıı р = АС ∩ р

ВС ∩ АД = Д и АД ıı р = ВС ∩ р

PQ ıı BC (по условию),

ВС ∩ р (по доказанному) =

PQ ∩ р (следствие 1).

Что и т.д.

Проверочная работа

Отметить знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» - ошибочные.

Вариант 2

Вариант 1

1. Аксиомой называется

1 . Аксиомой называется

математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, требующее доказательства.

математическое утверждение о

2. На любом луче от начала можно отложить отрезки, равные данному, причем сколько угодно много.

свойствах геометрических фигур,

принимаемое без доказательства.

3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному, и притом только один.

2. Через любые две точки проходит

4. Через точку не лежащую на

данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

прямая, и притом только одна.

5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

3. Через точку, не лежащую на

данной прямой, проходят только

две прямые, параллельные

данной.

4 . Если прямая пересекает одну из

двух параллельных прямых, то она

перпендикулярна другой прямой.

5. Если прямая пересекает одну из

двух параллельных прямых, то она

пересекает и другую.

Проверочная работа

Вариант 1

1. «-»

2. «-»

3. «+»

4. «+»

5. «+»

Вариант 2

1. «+»

2. «+»

3. «-»

4. «-»

5. «+»

Изучение нового материала

Задача 2.

Дано: AB||CD

Найти:  EKC

Задача 1.

Доказать: AB||CD

Решение этих задач приводит к выводу:

Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны.

Это свойство параллельных прямых.

В любой теореме различают условие и заключение.

УСЛОВИЕ – то, что дано.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ – то, что требуется доказать.

Составим таблицу

Название теоремы

Признак параллельности прямых

Формули-ровка теоремы

Свойства параллельных прямых

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Условие

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

(дано)

Заключение

(доказать)

a||b

 1=  2

Прямые a, b, c – их секущая,  1,  2 – накрест лежащие углы;  1=  2

Прямые a, b, c – их секущая,  1,  2 – накрест лежащие углы; a||b

Вывод:

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

ЗАГАДКА

Что вы сейчас перечислили?

• С оранжевой кожей,
•   На мячик похожий,
•   Но в центре не пусто,
•   А сочно и вкусно.

А теперь опишите плод со следующей картинки.

Что помогло вам отгадать картинку?

Докажем теорему:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано: а ıı в, с – секущая,

Доказать:

Доказательство.

…

Послушайте, пожалуйста, рассказ и скажите, каким способом мы будем доказывать данную теорему.

Рассказ

Как-то раз мама и Петина сестра Катя ушли в гости, а сам он, чтобы не скучать , достал с верхней полки томик увлекательнейших историй о Шерлоке Холмсе. Доставая книгу, Петя нечаянно смахнул вазочку, которая разбилась вдребезги. Хорошее настроение было несколько омрачено, но, решив не расстраиваться заранее, он смел черепки и уютно устроился с книгой на диване. Рядом пристроился верный пес Дружок. Едва раскрыв книгу, Петя забыл обо всем на свете и с головой погрузился в мир загадочных преступлений, которые так ловко распутывал Шерлок Холмс с помощью своего дедуктивного метода.

К действительности его вернул возмущенный голос Кати:

- Мама, смотри, Петька вазочку разбил, которую я тебе подарила!

Петя:

- А ты видела? Докажи, что это сделал я!

Катя (пожимает плечами):

- Что же тут доказывать? Дома были ты и Дружок. Допустим, что не ты разбил вазочку, тогда значит, ее разбил Дружок.

Но не станешь же ты утверждать, что Дружок смог добраться до верхней полки? Дружок все-таки собака, а не кошка. Значит, вазочку разбил ты, больше некому.

Петя:

- Да, с тобой не поспоришь, логика как у Шерлока Холмса. Вазочку действительно разбил я.

Скажите, ребята, каким способом доказательства воспользовалась в своих рассуждениях Катя?

Доказательство методом от противного

Доказательство:

Допустим, что  

От луча МН отложим  так, чтобы   были накрест лежащие при пересечении прямых  МР  и в и секущей  МН .

По построению эти углы накрест лежащие равны, значит,  МР ıı в .

Но тогда через точку  М  проходят две прямые  а и МР, параллельные  в , что противоречит аксиоме параллельных прямых.

Значит наше предположение неверно и     Что и т.д.

с

Р

М

а

1

2

в

Н

Закрепление изученного материала

№ 201

Домашнее задание

• № 204, 206, 207
• п. 29 изучить

Дополнительное задание:

Подготовить небольшой доклад «Евклидова геометрия»

Спасибо за внимание!!!