Теорема Параллельность двух прямых 7 класс

Теорема «Параллельность двух прямых»

Актуализация знаний:

• Какие прямые называются параллельными?
• Что такое секущая?
• Какие пары углов образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей?
• Дано: AB=BC, ∠BAC=∠CAD. Доказать: BCllAD.  

                  B                     C 

              A                                D

5. Дано: allb,с-секущая, ∠1=121°. Найти: ∠3=?

                                c 

a                              

                          3

b            1      2

• Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
• Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым, если она пересекает их в двух точках.

3.                 1     2                             накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

                    4     3                                односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

               5     6                                     соответственные углы: 1 и5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

         8      7

   4.    B                 C                   Доказательство: 1) ∠BAC=∠BCA т.к. ΔABC - равнобедренный (AB=BC по условию);

                                                    2) ∠CAD=∠BCA, т.к. ∠BAC=∠CAD и ∠BAC=∠BCA (тождественные преобразования);

                                                    3) BCllAD т.к. ∠CAD=∠BCA - накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC.

      A                            D

                                c

5.   a                                           Решение:1) ∠2=59 ° т.к ∠2= 180°-∠1, ∠1 и ∠2 - смежные (сумма смежных углов равна 180°); 

                              3                                           2) ∠2=∠3=59° т.к. ∠2 и ∠3 - односторонние (по определению одностор. углов). 

      b          1       2

На каком рисунке изображенны параллельные прямые? 

1. ∠1=∠2       c                             2. ∠1=∠2                     c

a                                                                              a                        1 

                1

  b                 2                                                          b             2

                                                                                              c

         3.∠1 и ∠2 - односторонние                             

                                                          a                      2

                                                                b                     1  

Затруднение вызывает ответ на 3 задачу, так как не известно,  сумма двух односторонних углов  ∠1 и ∠2 равна ли 180° при пересечении секущей c двух прямых a и b.

Наведение на факт:

• Нарисуйте две параллельные прямые, которые пересечены секущей.
• Выберете любую пару односторонних углов.
• Измерьте и сложите градусную меру этих двух углов. 

Какой результат получился?

Гипотеза: если две прямые параллельны, то сумма односторонних углов будет равна 180°.

• Формулировка теоремы: если при пересечении двух  прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
• О чем говориться в теореме: о прямых.
• Что именно говориться об этом: если сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые будут параллельны.
• Что нужно доказать: что прямые параллельны. Для этого нужно доказать, что сумма односторонних углов равна 180°. Для этого нужно доказать, что накрест лежащие углы будут равны. Докажем это по свойствам транзитивности через сумму односторонних углов, которая будет равна 180° и через сумму смежных углов, которая также будет равна 180°.

Для доказательства нам необходимо: 

• Построить две паралельные прямые, которые будут пересечены секущей. Ввести угол, который будет являться смежным с одним из односторонних углов.
• Доказать, что сумма этих смежных углов будет равна 180°.
• Тождественными преобразованиями найти чему равны два накрест лежащих угла, один из которых является односторонним углом, а другой смежным.
• По свойству транзитивности доказать, что эти два накрест лежащих угла равны.

Вернемся к 1 требованию:

Построим две параллельные прямые a и b, которые пересечены секущей c. Так как нам необходимо доказать параллельность этих прямых через односторонние углы, выберем такие смежные углы, один из которых будет являться односторонним углом.  ∠1 и ∠ 2 - одностороние, ∠ 2 и ∠ 3 - смежные.

                                      c

  a                  

                        3         2

    b                     

                          1        

Вернемся ко 2 требованию:

Докажем это требование через торему о том, что сумма смежных углов равна 180°, то есть мы видим, что ∠2 и ∠3 - смежные, поэтому ∠2+∠3=180°.

                                  c

a  

                      3        2

b

                             1

Вернемся к 3 требованию:

С помощью тождественных преобразований (переноса) находим, чему будут равны два накрест лежащих угла  ∠1 и ∠3.  Так как ∠1+∠2=180°(сумма односторонних углов) получаем, что ∠1=180°-∠2. Так как ∠2+∠3=180° (сумма смежных углов) получаем, что ∠3=180°-∠2.

                              c

    a                 3    2

    b  

                        1

Вернемся к 4 требованию:

По свойству транзитивности мы докажем, что два накрест лежащих угла  ∠1 и ∠3 будут равны. Так как ∠1=180°-∠2 и ∠3=180°-∠2 получаем, что ∠1=∠3.

                                      c

  a

                        3          2

b

                            1

Краткая запись:

Теорема: если при пересечении двух  прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 

Дано: a,b – прямые; c – секущая, ∠1и ∠2– односторонние.                                                     c

Доказать: allb.                                                                                                       a

                                                                                                                                              3      2                    

                                                                                                                                b

Доказательство:                                                                                                                     1

• ∠ 3

• ∠ 1 и ∠2 – накрест лежащие углы при прямых , и секущей  (по определению накрест лежащих углов)  
• ∠ 2 и ∠3 – смежные углы при прямых , и секущей  (по определению смежных углов) 
• ∠ 2+∠3=180° , так как ∠2 и ∠3 - смежные (сумма смежных углов равна ) 
• ∠ 1=180°-∠2, так как ∠1+∠2=180° (тождественное преобразование – перенос) 
• ∠ 3=180°-∠2, так как∠2+∠3=180°(тождественное преобразование – перенос) 
• ∠ 1=∠3, так как ∠1=180°-∠2, ∠3=180°-∠2 (по свойству транзитивности) 

Теорема доказана.

Вывод: последовательно выполнив все приведенные требования, мы доказали, что если  при пересечении двух  прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 

Задача 1:

Дано: AD -  биссектриса  ∠ADF, ∠QAM=78°, ∠AMK=102°, ∠ADM=48°. 

Найти: ∠DAE=?, ∠ADE=?, ∠DEA=?.

                                        A                                 E

                            Q

                            K

                                            M                D                      F