Теорема Виета. Алгоритм нахождения корней уравнения.

Урок по теме: «Теорема Виета»

8 класс

Цели урока:

• Ввести понятие теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета
• Научить применять их при решении уравнений

Оборудование:

• Компьютер
• Интерактивная доска

Фронтальный опрос.

1. Какое уравнение называется квадратным?

2. Какое квадратное уравнение называется приведенным?

3. Запишите общий вид приведенного квадратного уравнения.

4. Что показывает дискриминант квадратного уравнения?

5. Как найти дискриминант квадратного уравнения?

6. Запишите формулу корней квадратного уравнения?

Устная работа

Охарактеризуйте данные уравнения.

x² - 13 x = 0

7 x² - 14 x = 0

x² + 4 x - 6 = 0

2 x² + 6 x = 6

x² + 5 x - 1 = 0

3 x² - 5 x + 19 = 0

Теорема Виета

Пусть : х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения

х ² + p х + q = 0 , тогда сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Дано: х₁ и х₂ - корни уравнения

Доказать:

Доказательство:

х ² + p х + q = 0

, D = p² -4q.

, х₂ =

1. х₁ =

2 . x₁+x₂ =

+

=

=

=

= -p

=

∙

3. x₁ ∙ x₂ =

=

=

= q

=

=

Обратная теорема:

Прямая теорема:

Если х₁ и х₂ - корни уравнения

х² + px + q = 0.

Тогда числа х₁, х₂ и p, q связаны равенствами

Тогда х₁ и х₂ - корни уравнения

х² + px + q = 0.

Числа х₁ и х₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения х² + px +q = 0 тогда и только тогда, когда

x₁ +х₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q

Применение теоремы

• Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения
• Определяем знаки корней уравнения не решая его
• Устно находим корни приведенного квадратного уравнения
• Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Исследуем связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения

Уравнение

1

x² - 15x + 14 = 0

p

2

q

x² - 5x + 6 = 0

3

x² - 7x + 6 = 0

x₁

x₂

7

6

x₁ + x₂

x₁ ∙ x₂

-1

-6

-7

6

1

14

15

14

14

-15

6

-5

2

3

5

6

6

-7

1

6

7

6

Сформулируйте вывод о взаимосвязи корней

приведенного квадратного уравнения с его

коэффициентами.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Сравните свой вывод с теоремой:

Если х 1 и х 2 -корни уравнения

х 2 + р х+ q =0,

то верны равенства:

х 1 +х 2 =- р ; х 1 х 2 = q

x² + px + q = 0 x² - ( х₁ + х₂ )х + х₁ ∙ х₂ = 0

№ 29.1. Выберите уравнение сумма корней которого равна -6, а произведение равно -11

а) х² - 6х + 11 = 0

б) х² + 6х - 11 = 0

в) х² + 6х + 11 = 0

г) х² - 11х - 6 = 0

х² + 11х - 6 = 0

как с помощью теоремы Виета можно составить квадратное уравнение по его корням

Например:

№ 1. Составить уравнение, если известны его корни:

Х 1 = 10; х 2 = -2

Решение:

x 2 + px +q = 0

p = - ( Х 1 + х 2 )

q = Х 1 * х 2

p = - (10+ (-2) )

q = 10* ( -2)

p = -8

q = -20

Уравнение : х 2 – 8х – 20 = 0

Ответ: х 2 – 8х - 20 = 0

Задание 1 . Составьте уравнение по заданным корням (Самостоятельная работа по вариантам с последующей проверкой )

Х 1

Х 2

4

Уравнение

-3

2

5

-3

-4

-1

3

• Задание 2. Если х₁ = -5 и х₂ = -1 - корни уравнения х² + px +q = 0 , то

1) p = -6, q = -5

2) p = 5, q = 6

3) p = 6, q = 5

4) p = -5, q = -6

5) p = 5, q = -6

6) p = -6, q = -5

• Задание 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0 . Выберите правильный ответ.

• х₁ + х ₂= -3, х₁ ∙ х₂ = -5

• х₁ + х ₂= -5, х₁ ∙ х₂ = -3

• х₁ + х ₂= 3, х₁ ∙ х₂ = -5

• х₁ + х ₂= 5, х₁ ∙ х₂ = -3

0 p = 0, q = - 19 х₁ + х ₂= 0, х₁ ∙ х₂ = -19 а) 2x² +9x – 10 = 0 х² + 4,5х – 2 = 0, D 0 p = 4,5, q = - 2 х₁ + х ₂= -4,5, х₁ ∙ х₂ = -2 Найти сумму и произведение корней уравнения :2 № 29.3( а) б,в. самостоятельно с последующей проверкой А) х² - 37х+27 = 0 Д = (-37)² - 4∙27 = 1369 – 108 = 1261 0 " width="640"

Решение:

y² – 19 =0, D 0

p = 0, q = - 19

х₁ + х ₂= 0, х₁ ∙ х₂ = -19

а) 2x² +9x – 10 = 0

х² + 4,5х – 2 = 0,

D 0

p = 4,5, q = - 2

х₁ + х ₂= -4,5, х₁ ∙ х₂ = -2

Найти сумму и произведение корней уравнения

:2

№ 29.3( а)

б,в. самостоятельно с последующей проверкой

А) х² - 37х+27 = 0 Д = (-37)² - 4∙27 = 1369 – 108 = 1261 0

Домашнее задание:

• Стр. 168-169, №№ 29.4, 29.6