Теория игр в excel

ТЕОРИЯ ИГР В EXCEL

ТЕОРИЯ ИГР В EXCEL

«Этапы моделирования»

Модель – это объект, который обладает существенными свойствами другого объекта, процесса или явления (оригинала) и используется вместо него.

Моделирование – это создание и исследование моделей с целью изучения оригиналов.

11

1 этап. Постановка задачи

• Описание задачи
• Цель моделирования

2 этап. Разработка модели

• Информационная модель
• Компьютерная модель

3 этап. Компьютерный эксперимент

• План эксперимента
• Проведение исследования

4 этап. Анализ результатов моделирования.

Результаты не соответствуют цели

Результаты соответствуют цели

11

1 этап. Постановка задачи

По характеру постановки все задачи можно разделить на 3 группы :

К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать как изменяется характеристики объекта при некотором воздействии на него: «что будет, если?..» - АНАЛИЗ

Например, будет ли сладко, если в чай положить две чайные ложки сахара?

Вторая группа задач имеет такую формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется «как сделать, чтобы?..» - СИНТЕЗ

Например, какого объема должен быть воздушный шар, наполненный гелием, чтобы он мог подняться вверх с грузом 100 кг?

Третья группа – это комплексные задачи. Такие задачи часто отвечают на вопрос «как сделать лучше?..» - ОПТИМИЗАЦИЯ

Примером такого комплексного подхода может служить решение задачи о получении химического раствора заданной концентрации.

Данный этап характеризуется двумя основными моментами:

• Описание задачи
• Определение целей моделирования

11

1 этап. Постановка задачи

1.Описание задачи

При описании задачи создается описательная модель с использованием естественных языков и рисунков.

Для того, чтобы задачу можно было решить, она должна быть хорошо поставлена , это значит, что:

• должны быть заданы все связи между исходными данными и результатом;
• должны быть известны все исходные данные;
• решение должно существовать;
• решение должно быть единственным.

11

1 этап. Постановка задачи

1.Описание задачи

Примеры плохо поставленных задач:

11

Что делать если полученная задача плохо поставлена?

Решить ее нельзя, поэтому остается уточнять условия и исходные данные. Если и это невозможно, нужно вводить допущения – упрощающие предположения, которые позволят сделать задачу хорошо поставленной.

11

11

1 этап. Постановка задачи

2.Определение цели моделирования

Определение цели моделирования позволяет четко установить, какие исходные данные являются важными, какие – несущественны и что требуется получить на выходе.

11

I. Постановка задачи (пример)

Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень?

?

Хорошо поставлена?

Допущения :

Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли.

?

?

Всегда ли есть решение?

Всегда ли есть решение?

?

?

Решение единственно?

Решение единственно?

2 этап. Разработка модели

• Информационная модель

На этапе разработки информационной модели нужно:

• определить исходные данные, существенные для решения данной задачи;
• выбрать тип модели;
• построить формальную модель, отражающую только существенные свойства оригинала;

Это модель, записанная на формальном языке, например, с помощью математического языка алгебраических формул, уравнений или неравенств. Кроме того, в соответствии с поставленной целью необходимо выделить параметры, которые известны (исходные данные) и которые следует найти (результаты), с учетом ограничений на допустимые значения этих свойств.

• разработать алгоритм исследования формальной модели;

Алгоритм – это четко определенный порядок действий, которые нужно выполнить для решения задачи.

2 этап. Разработка модели

2.Компьютерная модель

Следующий шаг – это преобразование информационной модели в компьютерную модель , т.е. выразить ее на понятном для компьютера языке.

Существуют различные пути построения компьютерных моделей, в том числе:

• создание компьютерной модели в форме проекта на одном из языков программирования;
• построения компьютерной модели с использованием электронных таблиц, систем компьютерного черчения или других приложений. От выбора программной среды зависит алгоритм построения компьютерной модели, а также форма его представления.

II. Разработка модели

Спортсмен Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Под каким углом к горизонту ему нужно бросить мяч, чтобы попасть в желтую мишень? Мишень расположена на высоте 4 м на расстоянии 10 м от Васи. В момент броска мяч находится на высоте 2 м от земли.

1) Определить существенные исходные данные.

• мяч и мишень — материальные точки
• мишень неподвижна
• сопротивление воздуха не учитывается.

2) Выбор типа модели .

!

Можно использовать несколько моделей!

II. Разработка модели

Графическая модель

4 м

2 м

3) Формальная (математическая) модель

Задача : найти t и  , такие что

23

Уточнение диапазона углов

Диапазон углов для поиска:

23

II. Разработка модели

4) Алгоритм моделирования

Метод I.

Меняем угол  . Для выбранного угла  строим траекторию полета мяча. Если она проходит выше мишени, уменьшаем угол, если ниже – увеличиваем.

Метод II.

Из первого равенства выражаем время полета:

Меняем угол  . Для выбранного угла  считаем t, а затем – значение y при этом t . Если оно больше H , уменьшаем угол, если меньше – увеличиваем.

не надо строить всю траекторию для каждого 

23

II. Разработка модели

5) Компьютерная модель

• программа (Паскаль, Си, …)
• электронные таблицы ( Excel , OpenOffice.org Calc )
• среды моделирования (Simulink , VisSim)

23

3 этап. Компьютерный эксперимент

Эксперимент – это исследование модели в заданных условиях.

1. Тестирование компьютерной модели

Тестирование – это проверка модели на простых исходных данных с известным результатом.

Для проверки правильности алгоритма построения модели используется тестовый набор исходных данных, для которых конечный результат заранее известен.

Например, если вы используете при моделировании расчетные формулы, то надо подобрать несколько вариантов исходных данных и просчитать их «вручную». Когда модель построена, вы проводите тестирование с теми же исходными данными и сравниваете результаты моделирования с расчетными данными. Если результаты совпадают, то алгоритм верный, если нет – надо устранять ошибки.

23

Нужно понимать, что удачное тестирование модели не гарантирует, что она правильна; тестирование может только установить ошибочность модели.

Чтобы доказать правильность модели, нужно проверить её при всех допустимых исходных данных (в том числе и при тех, для которых правильный ответ неизвестен), а это практически невозможно.

23

III. Тестирование модели

Тестирование – это проверка модели на простых исходных данных с известным результатом.

а) тестирование математической модели :

• при t = 0  x = 0, y = 0 (в начале координат)

• при v 0 = 0  x = 0, (падение вниз)

• при  = 90   x = 0

• при увеличении t парабола «загибается» вниз

б) тестирование компьютерной модели :

(пробные расчёты в рассмотренных условиях)

?

Доказывает ли успешное тестирование правильность модели?

3 этап. Компьютерный эксперимент

2. Исследование компьютерной модели

Если алгоритм построенной модели верный, то можно перейти ко второму пункту компьютерного эксперимента – проведение исследования компьютерной модели.

При проведении исследования, если компьютерная модель существует в виде проекта на одном из языков программирования, ее нужно запустить на выполнение, ввести исходные данные и полученные результаты.

Если компьютерная модель исследуется, например, в электронных таблицах, построить диаграмму или график.

III. Эксперимент с моделью

Эксперимент – это исследование модели при тех исходных данных, которые нас интересуют (результат заранее неизвестен).

• задаём угол 
• находим время
• находим высоту

!

Может быть два решения!

y H

Диапазон углов для поиска:

?

Можно ли сразу использовать двоичный поиск?

?

построить график y (  )

Как отделить два решения?

4 этап. Анализ результатов моделирования

Конечная цель моделирования – это анализ полученных результатов.

Основой выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов.

Если задача решена верно, то исследования можно закончить.

Если результаты не соответствуют целям поставленной задачи, то значит, на предыдущих этапах были допущены ошибки или неточности.

Возможны выводы:

• Необходимо изменить алгоритм или условия моделирования
• Необходимо изменить постановку задачи
• Исправить ошибки в формулах

Если ошибки выявлены, то требуется корректировка модели, то есть возврат к одному из предыдущих этапов. Процесс повторяется до тех пор, пока результаты эксперимента не будут отвечать целям моделирования.

IV. Анализ результатов

• всегда ли Вася сможет попасть в мишень?
• если начальная скорость отличается от заданной?
• если мяч и мишень не считать материальными точками?
• как сильно влияет сопротивление воздуха?
• если мишень качается?
• и т.д….

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ

Задача 1

1 этап. Постановка задачи

Описание задачи:

Набрать и подготовить к печати текст

Эта задача относится к поставке «что будет, если?..».

Цель: получить грамотный, отформатированный документ.

Задача 1

1 этап. Постановка задачи

• Формализация задачи

• Что моделируется? – Объект «текст»
• Где взять содержание текста? – имеется в виде черновика.
• Каков тип печати? – черно-белая
• Каковы параметры текста? – абзацный отступ, границы, гарнитура, размер и начертание шрифта, цвет (черный)
• Что надо получить? – набранный, отредактированный и оформленный текст.

Задача 1

2 этап. Разработка модели

• Набор текста. Информационная модель

Объект моделирования

Параметры

ТЕКСТ

название

Гарнитура шрифта

Значения (исходные)

Размер

Ariel

Начертание

Абзацный отступ

12

Выравнивание

Обычный

0,5 см

По ширине

Задача 1

2 этап. Разработка модели

• Компьютерная модель

Для моделирования текстовых документов используется среда текстового процессора Word.

Задача 2

1 этап. Постановка задачи

Имеется квадратный лист картона.

Из листа по углам вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов.

Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую вместимость? Какого размера надо взять лист, чтобы получить из него коробку с заданным максимальным объемом?

Задача 2

Цель моделирования

Определить максимальный объем коробки

0. Размер дна не может быть отрицательным Что ограничивает расчеты? " width="640"

Задача 2

Формализация задачи

Объект «коробка»

Что моделируется?

Из чего получается коробка?

Из картонного листа

Что известно?

Длина стороны листа (а)

Как определить максимальный размер коробки?

Проследить, как изменяется объем коробки при изменении размера выреза (б)

Увеличивается от нуля с заданным шагом ( Δб )

Как изменяется размер выреза?

Размер дна коробки (с), площадь дна (S), объем (V)

Какие параметры коробки изменяются при изменении выреза?

С0. Размер дна не может быть отрицательным

Что ограничивает расчеты?

Задача 2

2 этап. Разработка модели

Информационная модель

Объект

Параметры

название

Картонный лист

Длина стороны а

значение

Вырез

Исходные данные

Шаг изменения ∆b

Коробка

Размер b

Длина стороны дна с

Исходные данные

Площадь дна S

Расчетные данные

Расчетные данные

Объем V

Расчетные данные

Результаты

Задача 2

2 этап. Разработка модели

Разработка математической модели

Расчётные параметры объекта определяются по формулам:

с = a – 2b – длина стороны дна;

S = c 2 – площадь дна;

V = Sb – объём.

Здесь а – длина стороны картонного листа, b – размер выреза. Первоначальный размер выреза b 0 = 0. Последующие размеры выреза определяются по формуле b i+1 = b i +

2 этап. Разработка модели

Задача 2

Компьютерная модель

Задача 2

Будем использовать среду табличного процессора:

Ячейка А9 – начальный размер выреза

Задача 2

Проверка адекватности и корректировка модели

Сравните результаты, полученные после ввода формул, с результатами, приведенными в примере расчета (ручной расчет). Совпадение значений с контрольным образцом показывает правильность введения формул.

Задача 2

Задача 2

Задача 2