Теория вероятности

Теория вероятности:

Случайные события и случайные величины

«Зачем психологам это надо?»

• Чтобы осознанно участвовать в лотерее;
• Чтобы не проигрывать в казино;
• Чтобы делать объективные и обоснованные выводы о результатах своего исследования;
• Чтобы не путать динамические и статистические взаимосвязи...

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И СТАТИСТИКА — ДВЕ СТОРОНЫ ОДНОЙ МОНЕТЫ

Случайные события

• Каковы возможные исходы броска монеты?
• «Орел» (герб);
• «Решка» (цифра);
• Встанет на ребро;
• Зависнет в воздухе...

Случайные события

• Событие — всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти (обозначим его А).
• Вероятность случайного события — численная мера степени объективной возможности события (Р(А)).
• Событие может быть:
• Достоверным (Р(А)=1);
• Невозможным (Р(А)=0);
• Случайным ( 0 ≤ P(A) ≤1)

Случайные события

• Монета упадет «орлом» кверху — это....
• Зарплату дадут точно 6 ноября — это....
• Завтра встретиться с динозавром — это...
• Какой-то незнакомец будет думать о Вас сегодня — это...
• Солнце взойдет из-за горизонта на востоке — это...
• Луна сделает оборот вокруг Земли за 27 суток — это...

Схема случаев Например, «орел» и «решка» в одном броске " width="640"

Случайные события: свойства

• Несовместность : А ∩В=Ø на универсальном множестве исходов опыта Ω, т.е( )
• Равновозможность P(А)=Р(В)
• Дополнение до полной группы событий:

Р(А)+Р(А)=1 или A+A=Ω

Полная группа несовместных равновозможных событий= Схема случаев

Например, «орел» и «решка» в одном броске

Случайные события

Классическая формула вероятности (для схемы случаев):

Р(А)=|А| / | Ω |

или

Р(А)=m/n,

где m — количество благоприятствующих исходов;

n — количество возможных исходов.

• Cм. правила сложения и умножения вероятностей

А

Ω

Статистическая вероятность

• По теореме Бернулли,

При n* →∞

• P*(A) = m*/n*

Если мы подбросим монету 2 раза?

Если мы подбросим монету 5 раз?

Если мы подбросим монету 10 раз?

Случайная величина

может принять в результате опыта некоторое значение, и заранее неизвестно, какое именно.

Пример: чему равна вероятность попадания монетой в конкретную точку стола?

• Закон распределения — описывает случайную величину с вероятностной точки зрения, устанавливая соответствие между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
• При этом F(x)=P(X

Дискретная случайная величина

• Дискретная случайная величина — принимает отделенные друг от друга значения.
• Задается рядом распределения — табличная (аналитическая) форма установления соответствия для каждого х его вероятности
• И многоугольником распределения — графической формой распределения

Непрерывная случайная величина

• Непрерывная случайная величина — возможные значения непрерывно заполняют собой некоторый промежуток
• !Задать ряд распределения невозможно, т. к.

Р(х)=m/n=1/ ∞

• Используют F(x)=P(Xинтегральную функцию распределения
• И f(x)=F'(x) — функцию плотности вероятности , дифференциальную функцию распределения

Характеристики распределения случайной величины

Математическое ожидание оценивается через среднее случайной величины

• Для дискретной:

M[X]= , где p i - вероятность появления x i

• Для непрерывной:

M[X]= , где f(x)dx - элемент плотности вероятности

• Свойства M[x]:

М[X+Y] =M[X]+M[Y], M[α] =α,

M[αX] =αM[X]

Характеристики распределения случайной величины

• Мода — значение случайной величины с наибольшей плотностью вероятности (максимум на графике плотности вероятности)

Медиана — значение случайной величины, при котором вероятности попасть справа и слева от него равны.

F(Me)=0,5 - для функции распределения

площадь S(x

Характеристики распределения случайной величины

• Дисперсия — мера рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания
• D[X]= - для дискретной
• D[X]= - для непрерывной случайной величины
• Среднеквадратичное отклонен ие

σ=√D[X]

Моменты случайной величины

• 1 начальный момент — cреднее, М[x]
• 2 центральный момент — дисперсия, или мат. ожидание квадрата разности значения случайной величины и среднего
• 3 центральный момент — характеристика симметрии (коэффициент асимметрии),
• 4 центральный момент — характеристика выраженности вершины распределения в окрестности среднего (коэффициент эксцесса)