Теория вероятности

Министерство общего образования Свердловской области Сысертский социально – экономический техникум «Родник» Теория вероятности

Выполнил работу

студент П-303

Давронов Д. К

Проверил: Лебедева Л.И.

Введение:

1.КРАТКАЯ ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

2.ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

3.ЗАДАЧИ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ С РЕШЕНИЕМ.

4.КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Исторические справки.

• Даниил Бернулли

• Даниил Бернулли - швейцарский математик и механик. В 1725-33 он работал в Петербургской АН сначала на кафедре физиологии, а затем механики. Впоследствии он состоял почётным членом Петербургской АН, опубликовал (с 1728-78) в её изданиях 47 работ. Профессор в Базеле по физиологии (1733) и по механике (1750). В математике Даниилу Бернулли принадлежат: метод численного решения алгебраических уравнений с помощью возвратных рядов, работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и, отчасти, к астрономии, по теории рядов. В работах, завершенных написанным в Петербурге трудом "Гидродинамика" (1738), вывел основное уравнение стационарного движения идеальной жидкости, носящее его имя. Даниил Бернулли разрабатывал кинетические представления о газах.

• "Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе."
• A. Дюма

Наступление случайного события в результате испытания, вообще говоря, нельзя предсказать заранее в принципе. Этот факт – непредсказуемость наступления – можно в некоторых случаях считать главным отличительным свойством случайного события. Тем не менее, имеется возможность некоторые случайные события подвергнуть анализу методами математики.

Pmi при miЕсли pn*p-qРазность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если n*p-p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение m0. Если же n*p-p - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: mI0=n*p-q и mII0=n*p+p. " width="640"

• Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие A появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли .
• Pm,n=Cn*pm*qn-m
• где q=1-p. Таким образом, P0(n)=qn, P1(n)=n*p*qn-1, P2(n)=((n*(n-1)/1*2)/p2*qn-2, ..., Pn(n)=pn.
• Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события A в n испытаниях, если значение Pm,n при m=0 не меньше остальных значений Pm,n т. е. Pm0,nPmi при mi
• Если p
• n*p-q
• Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1.
• Если n*p-p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение m0. Если же n*p-p - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: mI0=n*p-q и mII0=n*p+p.

Историческая справка.

• Первоначальным толчком к развитию теории вероятностей послужили задачи, относящиеся к азартным играм ( в переводе с французского »азарт» ( le hazard) означает « случай» ).
• Мощным стимулом развития теории явились запросы страхового дела, которое зародилось еще в 14 веке, а также, начиная с 17 века демографии.
• Важную роль для развития математической статистики сыграли работы Э.Галлея по демографии (1693 г.). Хотя по основной специальности этот ученый был астрономом, и его именем названа знаменитая комета.
• В трактате Я.Бернулли «Искусство предположений» (1730 г.), над которым он работал 20 лет и который был издан уже после смерти автора, впервые введено и широко использовалось классическое определение вероятности.
• Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона (18 век). В 20 веке достижения этой науки связаны с именами российских ученых С.Н.Бернштейна , А.Я.Хинчина , А.Н.Колмогорова. Теория вероятностей и математическая статистика и в настоящее время развиваются и применяются на практике:
• Организация производства
• Анализ технологических процессов
• Контроль качества продукции
• Страховое дело.

Теория вероятности

• Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет - "герб" или "решка". Однако кое-что мы все же знаем. Мы знаем, что шансы выпадения как "герба", так и - "решки" одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик. Будем называть равновозможными - исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение "герба" и выпадение "решки" - равновозможные исходы. Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместимыми, если при появлении одного из них в единичной испытании, исключается появление другого в том же испытании. Выпадения граней при бросании кубика - несовместные исходы.

Генераторы чисел.

• Положим в ящик десять одинаковых шаров, помеченными цифрами от 0 до 9. Вынем наугад один из шаров и отметим его цифру. Пусть это будет цифра 5. Затем вернем шар в ящик, хорошо перемешаем шары и вновь вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 1. Запишем ее, вернем шар в ящик, перемешаем шары, и снова вынем наугад один шар. Предположим, что выпала цифра 2. Повторяя эту операцию много раз, мы получаем неупорядоченный набор цифр, например такой: 5, 1, 2, 7, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 9, 2, 4, 4, 1, 3. Неупорядоченность набора связана с тем, что каждая цифра выпадала случайно. Ведь всякий раз шар вынимали наугад из хорошо перемешанной совокупности одинаковых шаров.
• Имея набор случайных цифр, можно составить набор случайных чисел. Будем рассматривать, например, четырехзначные числа. В этом случае достаточно разбить полученный набор случайных цифр на группы и рассматривать каждую группу как одно из этих чисел: 5127, 2302, 1392, 4413...
• Устройство для получения наборов случайных чисел называют генератором случайных чисел. Различают три типа таких генераторов: урны, кости, рулетки. Рассмотренный только что ящик с шарами представляет собой одну из разновидностей урн. Другая разновидность - лототрон, используемый в телепередачах спортлото.
• Наиболее просто устроены генераторы случайных чисел, относящиеся к типу "кости". Примерами таких генераторов являются подбрасываемый кубик, грани которого помечены разными цифрами, подбрасываемая монета (или жетон) и т. д.

Задача №1

• Устойчивость относительной частоты была обнаружена и многократно подтверждена экспериментально естествоиспытателями в 17-19 веках. Наиболее впечатляющим является результат К. Пирсона, который бросал монету 12000 раз, затем осуществил еще одну серию бросаний – 24000 раз. В этих сериях он подсчитывал количество выпадений герба и получил значения относительной частоты для него 0,5016 и 0,5005, отличающиеся друг от друга на 0,0011.

,

Для случайных событий обладающих свойством устойчивости, относительную частоту наступления события естественно считать степенью возможности наступления случайного события.

Пример. Баскетболист А из некоторого положения попал в кольцо 4 раза при 11 бросках. Баскетболист В из этого же положения – 6 раз при 18 бросках. Какому из игроков доверить выполнение штрафного удара из этого положения?

Решение. Найдем относительные частоты попадания в кольцо этими игроками:

. Так как

, то выполнение штрафного лучше доверить игроку А. Если относительная частота больше, то больше и уверенность в успехе.

2

• Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами с первого этажа. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира.
• Решение. При решении предполагаем, что всевозможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны. Очевидно, каждый пассажир имеет четыре возможности для выхода из лифта

5

3

пассажир

4

(на 2, 3, 4, 5 этажах).

Задача №2

• Тогда для двух пассажиров имеется возможностей, то есть различных вариантов выхода из лифта, так как каждая возможность выхода первого пассажира может сочетаться с каждой возможностью второго. Для трех пассажиров 4*4*4=64 вариантов выхода. Итак, , это число всех возможных равновероятных (по допущению) способов выхода пассажиров из лифта, один и только один из которых будет реализован в результате испытания. Число вариантов определяющих интересующее нас событие, то есть m равно 4*3*2 исходов, m=24 . Так как на каждом этаже должно выйти не более одного пассажира, то у первого выходящего имеется 4 варианта выхода (на любом, кроме первого, этаже), у второго – только 3 варианта, так как один вариант использовал первый пассажир, у третьего – только 2 способа. Окончательно: вероятность события А равна :

Задача №3

• Игрок подкидывает одновременно три игральных кости. Какова вероятность того, что одновременно выпадут три шестерки?
• Решение:
• Общее число несовместных равновозможных исходов n=6 x 6 x6 = 216 . Имеется только один благоприятный исход (6;6;6). Следовательно, искомая вероятность равна вероятности выпадения шестерки для первого кубика и вероятности выпадения шестерки для второго и третьего кубика: P(6;6)=P(6) x P(6)=(1/6) x (1/6)=1/ 216
• Ответ: вероятность равна 1/216

Задача №4

• Имеются 6 одинаковых урн. В одной из них содержится 2 белых и 1 черный шар, в двух других - по 3 белых и по 2 черных шара, а остальных трех урнах - по 2 черных и по одному белому шару. Наудачу вынимается урна, и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность того, что этот шар окажется белым (обозначим это событие за B)?
• Введем три дополнительных события: A1 - выбранная урна имеет 2 белых и 1 черный шар; A2 - выбранная урна - имеет 3 белых и 2 черных шара; A3 - выбранная урна содержит 1 белый и 2 черных шара. Теперь ясно, что P(A1)=1/6, P(A2)=1/3, P(A3)=1/2 и P(B/A1)=2/3, P(B/A2)=3/5, P(B/A3)=1/3. Отсюда, P(B)=(1/6)*(2/3)+(1/3)*(3/5)+(1/2)*(1/3)=43/90.

Задача №5

• В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 10?
• Так как номер любого шара, наводящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующий событию A, равно числу всех возможный случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае событие A достоверно

Заключение:

• Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека.

Спасибо за внимание!!!