Теория вероятности в ЕГЭ

Решение задач в ЕГЭ по теории вероятности.

Основные понятия теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.

Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов.

Вероятность события

Если n - число всех исходов некоторого испытания,

m - число благоприятствующих событию A исходов,

Вероятность события A равна

P ( A )=

Пример

Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.

Решение

У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно n =6.

Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно m= 1.

Тогда P ( A )= 1:6

Ответ:1/6

Сложение вероятностей.

Суммой событий A и B называют событие A + B , состоящее в появлении либо только события A, либо только события B, либо и события A и события B одновременно.

P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )

Пример

В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.

Решение

Пусть событие A - вынут красный шар.

P ( A )= 4: 10=0,4

Событие B - вынут синий шар.

P ( B )= 1: 10=0,1

Тогда вероятность того, что вынутый шар красный или синий равна

P ( A + B )= 0,4 + 0,1 =0.5

Произведение вероятностей

Произведением событий A и B называется событие P ( AB ) , состоящее в появлении и события A и события B.

P ( AB )= P ( A )  P ( B )

Пример

Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того что оба раза выпадет число 5.

Решение

Пусть

событие A - 1-й раз выпадет 5;

событие B - 2-й раз выпадет 5.

P ( A )= 1:6

P ( B )= 1:6

Тогда вероятность того, что оба раза выпадет число 5

P ( AB )= 1/6  1/6 = 1/ 36

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение

Пусть

Событие F - это выигрыш А в 1-ой партии, P ( F )=0,6

Событие G - выигрыш А в 2-ой партии, P ( G )=0,4

Событие C - А выиграет обе партии.

Вероятность наступления C равна произведению P(F) и P(G) , т.е наступят события G и C

P ( C )=0,6  0,4=0,24

Ответ: 0,24

Размещения

Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга либо самими элементами (состав), либо порядком их расположения.

Обозначение:

=

m - общее количество элементов;

n - количество отбираемых элементов.

Пример.

В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать 2 человека для конкурса.

Решение:

Общее количество элементов m = 20,

количество отбираемых элементов n = 2.

Порядок не важен.

Используя формулу получим число выборов:

= = 18!  19  20 : 18!=380

Ответ: 380

Сочетания

Сочетаниями из m элементов по n называются такие соединения, которые содержат n элементов из множества m элементов и отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Обозначение:

=

m - общее количество элементов,

n - количество отбираемых элементов

Пример

Имеется стопка из 25 книг. Сколькими способами можно выбрать 3 книги.

Решение

Общее количество элементов m = 25,

количество отбираемых элементов n = 3.

Порядок не важен, выборки отличаются только составом книг.

Используя формулу получим число выборок:

= 2300

Ответ:2300

Первый тип задач

К первому типу задач отнесем задачу нахождения вероятности наступления того или иного события из общего числа исходов.

Пусть

n – общее число исходов(испытаний);

m – число благоприятных исходов.

Тогда вероятность наступления того или иного события вычисляется по формуле:

P(A) = m : n

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение.

n = 1000; m = 1000-5=995

P(A) = 995 :1000 = 0,995

Ответ: 0,995

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Ответ:0,36

Школьник загадал целое число от 1 до 5. Какова вероятность того. Что он загадал число 3?

Ответ:0,2

Шесть пронумерованных игроков подбрасыванием кубика разыгрывают приз. Приз достанется тому, чей номер совпадет с числом выпавших очков. Какова вероятность, что приз достанется игроку с номером 6?

Ответ: 1:6

В фирме такси в данный момент свободно  15  машин:2 красных, 9 желтых и 4  зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Ответ:0,6

Второй тип задач

Ко второму типу задач отнесем задачи на нахождения пересечения независимых событий.

События А и В независимые , если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого.

Пусть С, событие является пересечением А и В, если произошли оба события.

Если А и В независимы, то вероятность их пересечений равна произведению вероятностей А и В.

Р(А  В) = Р(А)  Р(В)

Если события А и В несовместимы, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей А и В.

Р(А  В) = Р(А) + Р(В).

В некоторой местности утро в июле может быть либо ясным, либо пасмурным. Наблюдения показали:

• Если июльское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
• Если июльское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,5.
• Вероятность того, что утро в июле будет пасмурным, равна 0,2.

Найти вероятность того, что в случайно взятый июльский день дождя не будет.

Решение:

Р(А): Утро ясное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,1=0,9

Р(В): Утро пасмурное, но вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,5 = 0,5.

Р(В  ):Утро пасмурное с вероятностью 0,2

Вероятность наступления событий Р(В) и

Р(В  ) равна их объединению т.е. 0,5+0,2=0,7.

События «ясно» и «пасмурно» независимые. Найдем их пересечение, т.е. 0,9  0,7=0,63

Ответ: 0,63

В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

• Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2;
• Если майское утро облачное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,6;
• Вероятность того, что утро в мае будет облачным равна 0,4.

Найти вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет.

Решение.

Р(А): утро ясное и дождя не будет

1-0,2=0,8.

Р(В): облачно, но дождя не будет

1-0,6=0,4.

Р(В  ): утро облачно, вероятность 0,4

Р(В  В  ) = Р(В) + Р(В  )=0,4+0,4=0,8

Р(А)  Р(В  В  )=0,8  0,8=0,64

Ответ:0,64

Задачи.

• На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.(0,95)
• В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин. Найдите вероятность того, что выехало зеленое такси.(0,4)