Теорема Франсуа Виета

Открытый урок

алгебры в 8 классе

по теме

«ТЕОРЕМА ВИЕТА»

Тема: Теорема Виета.

Цели:

Обучающие:

• закрепление, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Квадратные уравнения»;

• установление внутрипредметных и межпредметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры, геометрии, информатики, истории, иностранного языка;

• организация поисковой деятельности учащихся при решении приведенных квадратных уравнений.

Развивающие:

• развитие умения самостоятельно приобретать новые знания;

• использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;

• установление закономерности многообразия связей для достижения уровня системности знаний;

• расширение кругозора учащихся;

• пополнение их словарного запаса;

• развитие интереса учащихся к предмету и смежным дисциплинам;

• развитие личностных качеств учащихся, их коммуникативных характеристик.

Воспитывающие:

воспитание чувства коллективизма, товарищества; ответственности за порученное дело; воспитание воли, упорства в достижении поставленной цели; выработка желания и потребности обобщать полученные факты; развитие самостоятельности и творчества.

Тип урока: деловая игра (расставить столы по два для трех групп: в каждой группе по 6 человек).

Оборудование: Портрет ученого Франсуа Виета, конверты с телеграммами, карточки с буквами имени ученого, магнитная доска с магнитами, таблички со словами «ДИСКРИМИНАНТ», «МЕНЬШЕ», «СТАНДАРТНОМ», жетоны, билеты готовности, увеличенный билет готовности, блоки схемы.

Оформление доски: Эпиграф: «Искусство, которое я излагаю, ново… и я счел нужным придумать ему совершенно новый вид…» (имя автора этих строк закрыто карточками с цифрами 1- 11)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке нам предстоит вспомнить пройденный материал и познакомиться с новой темой. Урок будет проходить в форме игры с элементами исследования. Для этого вы и разбились на 3 команды.

1. Разминка «Срочная радиограмма»

Командам раздаются по 1 конверту. В конвертах отдельные слова. Задача: составить одно математическое предложение из имеющихся слов и разместить их на доске. Трудность состоит в том, что одного слова не хватает. Допишите его мелом. Например:

больше

уравнение

имеет

корняимеет

два

нуля,

Если

то

различных

Задание для 1-ой команды (не хватает слова –ДИСКРИМИНАНТ)

Ответы на задания:

1. «Если ДИСКРИМИНАНТ больше нуля, то уравнение имеет два различных корня»;

2. «Если квадратное уравнение в СТАНДАРТНОМ виде, то можно находить дискриминант»;

3. «Если дискриминант МЕНЬШЕ 0, то уравнение корней не имеет».

На обратной стороне карточек зашифровано послание «Приглашаю в гости. Ф.В.»

Интересно, кто же это приглашает нас в гости и куда? Я только могу сказать вам, что человек этот тоже часто имел дело с шифрами. Одним из самых замечательных достижений этого человека была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, и за это испанцы прозвали его дьяволом.

III. Актуализация опорных знаний.

Ну, давайте, будем готовиться, зарабатывать жетоны для загадочной поездки. Та команда, которая заработает больше жетонов за игру – и поедет в путешествие. В какую страну нам придется отправиться, выявит следующее задание. Перед вами – математический кроссворд, разгадав который мы узнаем, куда нам предстоит отправиться. (Для экономии времени можно вызвать помощника из числа учащихся)

1. Математик, доказавший, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Название выражения b² + 4ac.

3. Уравнение вида Ах² + Вх + С = 0, А ≠ 0.

4. Большая из сторон прямоугольного треугольника.

5. Прибор для построения окружностей.

6. Что можно найти, перемножив время и скорость?

7. График функции у = kx+b.

Ответы: 1.Пифагор; 2.Дискриминант; 3.Квадратное; 4.Гипотенуза; 5.Циркуль; 6.Расстояние; 7.Прямая.

По вертикали должно получиться слово ФРАНЦИЯ.

Мы отправляемся во Францию.

1. Обобщение и систематизация изученного.

Итак, вы теперь знаете пункт назначения, но пока не известен адресат. Кстати, а что вам известно о Франции? (столица – Париж; города: Марсель, Дюнкерн, Руан, Бордо; курорты: Ницца, Канн, президент – Ж.Ширак). Знаете ли вы какие-нибудь французские слова? Ну, а какие деньги используются во Франции? ( с 1996 г – франки, 100 сантимов = 1 франку. А также – евро. Поэтому, как вы, наверное, уже догадались – на жетонах, которыми я вас буду поощрять, изображены франки).

Ну а теперь, посмотрим, как вы усвоили материал предыдущих уроков.

Перед вами схема, правильно она называется блок-схемой алгоритма, подробнее вам предстоит познакомиться с ней на уроках информатики. Я сейчас буду задавать вопросы, а мы будем и заносить ответы в блоки. Отвечать на вопросы может один или несколько членов команды. За правильные ответы команда получает жетон. Участники остальных команд внимательно слушают ответы, отслеживают ошибки, если надо исправляют их, тем самым, зарабатывая дополнительные жетоны для своей команды (в команде, допустившей ошибки, жетоны снимаются).

+ ─

Неполное Полное

+ ─

Приведенное

Неприведенное

х²+Вх+С = 0

Ах²+Вх+С=0

1. Какие уравнения мы изучаем сейчас на уроках алгебры? Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Как называются числа а, в и с? Какие значения они могут принимать?

3. Если в=0 или с=о, то … (продолжить фразу), а иначе … (продолжить фразу).

4. Приведите пример неполного квадратного уравнения, в котором в=0. Выйти к доске и решить его.

5. Приведите пример неполного квадратного уравнения, в котором с=0. Выйти к доске и решить его.

Пока учащиеся решают у доски, продолжаем заполнять схему.

1. Если а=1, то …(продолжить фразу), а иначе оно называется … (продолжить фразу).

2. Приведите пример приведенного квадратного уравнения, в котором в=-5, с=6.

3. Приведите пример неприведенного квадратного уравнения, в котором а=3, в=с=-4,

4. Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

5. Выйти к доске и решить первое уравнение способом выделения квадрата двучлена, а второе с помощью дискриминанта. (Пока учащиеся выходят, быстро проверить правильность решения неполных уравнений, записанных учащимися на доске).

Оказывается, есть еще один способ нахождения корней квадратного уравнения. И этот способ изобрел француз, который и пригласил нас в гости. Мы рассмотрим сегодня только приведенные квадратные уравнения.

Посмотрите внимательно в таблицу и постарайтесь увидеть закономерность. Коэффициенты уравнений зависят от суммы и произведения корней. Сами того не замечая, вы сформулировали теорему: Если приведенное квадратное уравнение имеет два корня, то сумма его корней равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком (-в), произведение корней равно свободному члену (с).

Доказали мы её? Нет. Мы увидели закономерность на примерах. Так как рассмотреть все примеры невозможно, это не является доказательством.

Дано: ах²+вх+с=0,

а=1,

х₁ и х₂ – корни.

Док-ть: х₁ + х₂ =-в,

х_{1 ·} х₂ = с.

Док-во: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х²+вх+с=0. Так как по определению приведенного кв.уравнения а=1 и по условию х₁ и х₂ – корни, то D0 и D=b² -4ac. По формуле корней квадратного уравнения:

х₁=, аналогично х₂=.

х₁+х₂= .

х_1·х_{2 =}

Теорема доказана.

Как видите, доказательство оказалось совсем простым, а вот пользы оно приносит немало. Сравните громоздкую запись для корней квадратного уравнения, содержащую радикал: и «воздушные» формулы данной теоремы. Кстати эта теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но об этом вы узнаете на следующем уроке.

А как вы думаете, можно ли не решая квадратное уравнение, подобрать его корни? Например, х²-7х+10=0 (2;5) Да, действительно, если два числа таковы, что их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение свободному члену, то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Это утверждение является обратной теоремой.

1. Закрепление.

Рис.1

Рис.2

По мере выполнения заданий, открываю карточки с именем ученого в эпиграфе к уроку на доске. В результате верно выполненной работы должно получиться так (см.рис.3):

Рис.3

Даю небольшую историческую справку:

Франсуа Виет – французский математик конца 16 века, один из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Также он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

• Какую тему мы повторили сегодня на уроке?

• С какой теоремой познакомились?

• Сформулируйте теорему Виета.
• Всегда ли можно применять теорему Виета?

• Между чем устанавливает зависимость теорема Виета?

Какая команда своими знаниями и умениями заработала больше франков? Поздравляем!

1. Домашнее задание (дифференцированное).

Уровень А – методом подбора или вычислив другим способом корни квадратного приведенного уравнения, разложить на множители данный многочлен. Например, х²-5х+6=0, корни – 2 и 3, следовательно, (х-2)(х-3)=х²-5х+6 (Проверь!) Составьте 6 кв. уравнений и разложите их по указанному способу.

Уровень В – найти свободный член и один из корней квадратного приведенного уравнения с параметром, если второй корень известен №578, №579

Уровень С – найти подбором корни уравнения №575, №576.

Урок окончен. Спасибо всем!

8