Теорема Пифагора. Геометрия. 8 класс

Теорема Пифагора Геометрия 8 класс

Пифагор Самосский

Пифагор родился в 580г. до н.э. на острове Самос, в семье богатого ювелира.

Его учителями были Гермодамант, Ферекид, Фалес.

Знания, полученные им в храмах Греции не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет.

Пифагор Самосский

В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса, где был посвящен в жрецы Здесь он глубоко изучил математику.

Затем начинается война с царём Вавилона Камбизом и Пифагор попадает в плен. Находясь в плену, он знакомится с восточной астрологией.

Около 530 года до н.э. Пифагор возвратился в Грецию и вскоре в Южной Италии, в г. Кротон основал Пифагорейский союз.

Пифагор Самосский

Пифагорейский союз был одновременно филосовской школой, политической партией и религиозным братством.

В основу всего они ставили числа:

1 – точка

2 – отрезок

3 – треугольник

4 – тетраэдр

Сумма этих чисел (1+2+3+4=10) считалась символом Вселенной.

Числа, равные сумме своих делителей называли совершенными.

Пару чисел, каждое из которых – сумма делителей другого числа – дружественными.  

Автор: Рафаэль Санти - Web Gallery of Art: Image Info about artwork, Общественное достояние

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c 2 = a 2 + b 2

c

a

b

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство 1:

b

a

a

c

b

c

c

b

c

a

b

a

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

Пусть для ∆АВС выполняется условие АВ 2 = АС 2 + ВС 2 .

Докажем, что  С = 90°.

Рассм. ∆ А 1 В 1 С 1 – п/у, у которого  С 1 = 90° и А 1 С 1 = АС ,

В 1 С 1 = ВС. По теореме Пифагора А 1 В 1 2 = А 1 С 1 2 + В 1 С 1 2 ,

• А 1 В 1 2 = АС 2 + ВС 2 . Но АС 2 + ВС 2 = АВ 2 ( по условию ),
• А 1 В 1 2 = АВ 2  А 1 В 1 = АВ.
• ∆ АВС = ∆ А 1 В 1 С 1 по трем сторонам, значит,  С =  С 1
• ∆ АВС – п/у,   С = 90°.

Теорема Пифагора

Доказательство 2:

a

b

a

b

c

a

a

a

a

c

c

a

b

c

b

c

c

b

b

b

c

b

a

c

a

b

a

b

Теорема Пифагора

Доказательство 3:

a

a

b

b

a

a

a

a

c

c

c

b

b

c

b

b

a

a

b

b

Теорема Пифагора

Доказательство 4:

c

a

c

b

b

a

c

b

a

c

a

b

Теорема Пифагора

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты  a  и  b , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе c .

c

a

b

Теорема Пифагора

Доказательство Леонардо да Винчи

F

E

G

C

D

B

А

J

H

Автор: Леонардо да Винчи - www.vivoscuola.it : Home; Picture, Общественное достояние

I

Теорема Пифагора

Доказательство Евклида

Автор: Юстус ван Гент (fl. 1460–1480) - http://www.aiwaz.net/panopticon/euclid/gi881c129, Общественное достояние

Теорема Пифагора

Доказательство 6:

Теорема Пифагора

Математики шутят

Чертежи к теореме Пифагора. Шаржи из учебников XVI в.

Дерево Пифагора (фракталы)

Дерево Пифагора (фракталы)

Дерево Пифагора (фракталы)

Египетский треугольник

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользова-лись следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали.

Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3 , 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с 5 делениями, был прямой (3 2  + 4 2  = 5 2 ) .

Пифагоровы тройки

Если x , y и z – целые положительные числа и верно равенство: x 2 + y 2 = z 2 , то x , y и z – пифагоровы тройки

Например: 3, 4 и 5 (т.к. 3 2 + 4 2 = 5 2 )

6, 8 и 10; 5, 12 и 13; 8, 15 и 17; …

Таких троек чисел бесконечно много.

А есть ли такие числа, удовлетворяющие равенствам:

x 3 + y 3 = z 3 , x 4 + y 4 = z 4 и т.д. ?

Великая теорема Ферма

« Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки ».

Пьер де Ферма

Знаменитый французский математик Пьер Ферма

(1608 –1665г.) утверждал:

«Уравнения x n + y n = z n , где n – целое число, большее 2 , не имеет решений в целых числах».

Это одна из самых популярных теорем математики, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. 

Великая теорема Ферма

Была назначена премия тому, кто докажет или опровергнет это утверждение.

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»

В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию.

Эндрю Джон Уайлс

Задача о лотосе

х + 0,5

Над озером тихим,

С полфута размером,

высился лотоса цвет.

Он рос одиноко.

И ветер порывом

Отнес его в сторону.

Нет больше цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

«Как озера вода глубока?»

2

0,5

х

Решение:

Использованы ресурсы

• Геометрия, 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2016.
• Изучение геометрии в 7 – 9 классах: Пособие для учителей / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_% D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0 - теорема Пифагора
• https :// commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=75883 – Пифагор на фреске Рафаэля
• http://sotvori-sebia-sam.ru/pifagor / - Пифагор
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_% D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0 - дерево Пифагора
• http:// vjatkin.livejournal.com/56299.html - дерево Пифагора
• https:// commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2550373 – Евклид
• https:// commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=109273 – Леонардо да Винчи
• http:// rasnajamatematika.blogspot.ru/2011/01/blog-post_05.html - шутливые рисунки о теореме Пифагора

Использованы ресурсы

• http :// school-collection.lyceum62.ru/ecor/storage/648d87e8-0b93-39b7-bf79-498944b4ff26/00145619626686195.htm - Пифагоровы штаны
• http:// alexlarin.com/viewtopic.php?p=43753 – доказательство по Евклиду
• https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%81,_%D0%AD%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%8E_% D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD - Эндрю Джон Уайлс
• http:// hengdeedu.com/lotus-flower-drawings-for-kids-coloring-pages-of-lotus-flower.html - лотос