Типичные задания по теории вероятностей

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Академия машиностроения имени Ж.Я. Котина»

Типичные задания по теории вероятностей

Щадин

Андрей Викторович

Теория вероятностей

Классическое определение вероятности Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных для A исходов к числу всех равновозможных исходов: Р(А) = m/n где  n  — общее число равновозможных исходов,  m  — число исходов, благоприятствующих событию A.

Противоположные события Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий

Объединение несовместных событий  Два события A и B называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию A, так и событию B.  Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B: P(AUB) =P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий  Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.  Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B. Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событийA и B: P(A∩B) = P(A) •P(B)

Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

Задача №1

Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.

Решение:

При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A «выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По определению вероятности

P(A) = 5/1000 = 0,005. 

Ответ: 0,005.

Задача №2

В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?  

Решение:

  Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая вероятность равна 6÷20 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задача №3

Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.

Решение:

  Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая, когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случа­ев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5.  

Ответ: 0,5.

Задача №4

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение:

  Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению вероятности Р= 4: 16 = 0,25.   

Ответ: 0,25.

Задача №5

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

Решение:

  Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 

9:20 = 0,45.

Ответ: 0,45.

Задача №6

На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Решение:

  На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть  1000:1005=0,995.

Ответ: 0,995.

Задача №7

На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя. Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и Толя попадут в разные группы.

Решение:

  Всего 26 мест. Пусть Коля займет случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13. Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 = 0,52.

Ответ: 0,52.