Типовой расчет № 3

АНО «ООВО» «УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 3

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

1. по направлению подготовки

38.03.05 Бизнес информатика, 38.03.01 Экономика (профиль «Финансы и кредит», «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Экономика предприятий и организаций», «Коммерция»)

Отделение: очное.

Типовой расчет включает в себя наиболее типичные и распространённые практические задания по основным разделам учебной программы.

Каждый студент очного отделения должен выполнить все задания и предоставить их преподавателю для проверки на практическое занятие № 12. Варианты заданий присваиваются каждому студенту преподавателем. Типовой расчёт выполняется в отдельной ученической тетради в клетку; решение оформляется согласно приведённым для каждого задания образцам. При этом работа считается зачтённой, если правильно и без грубых недочётов выполнено не менее 75 % заданий. В противном случае, работа возвращается студенту на доработку с соответствующей рецензией преподавателя.

Варианты заданий для типового расчета

Задание 1. Дана функция z=f(x,y). Построить с помощью MS Excel:

1. график функции z=f(x,y), х [-3, 3], у [-3, 3] с шагом 0,1. Отметить и подписать на нем локальные максимумы и минимумы, седловые точки.

2. линии уровня функции z=f(x,y).

Задание 2 (Минимизация затрат).

Фирма реализует автомобили двумя способами: через оптовую и розничную торговлю. При реализации х автомобилей в розницу расходы на реализацию составляют х² у. е., а при продаже у автомобилей оптом ‒ у² у. е. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет n шт. (n=№ варианта * 200).

Образец решения типового расчета

Задание 1. Дана функция z=sinxsiny . Построить с помощью MS Excel:

1. график функции z=f(x,y); х [-3, 3], у [-3, 3] с шагом 0,1. Отметить и подписать на графике локальные максимумы и минимумы, седловые точки.

2. линии уровня функции z=f(x,y).

Решение. Для построения графика функции потребуется таблица, на основании которой график и будет построен: по горизонтали — значения у, по вертикали — значения х в диапазоне [-3, 3] с шагом 0,1. В диапазон ячеек В2:В3 введем последовательность значений -3 и -2,9, выделим ячейки В2:В3, с помощью маркера автозаполнения заполним ячейки В2:В62; для заполнения ячеек С1:ВК62 поступаем аналогично.

Значения z вычисляются по формуле =SIN(B2)*SIN(C1).

Для того, чтобы эта формула правильно копировалась с помощью маркера автозаполнения необходимо верно поставить знаки $ в формулу: =SIN($B2)*SIN(C$1), для ячейки со значением x фиксируем букву столбца, для ячейки со значением y фиксируем номер строки.

Используя маркер автозаполнения, копируем формулу для всех значений x и y. Получим таблицу, в которой каждой паре (x, y) соответствует координата z.

Выделяем диапазон ячеек В1:ВК62, выбираем ВСТАВКА - ДРУГИЕ ДИАГРАММЫ -ПОВЕРХНОСТЬ. Можно выполнить поворот поверхности: контекстное меню диаграммы → Поворот объемной фигуры.

Точки А, В - локальные максимумы. Точки С, D - локальные минимумы. Точка Е - седловая точка.

Для построения линий уровня функции z=f(x,y) выделяем диапазон ячеек В1:ВК62, выбираем ВСТАВКА - ДРУГИЕ ДИАГРАММЫ – ПОВЕРХНОСТЬ – КОНТУРНАЯ.

Задание 2 (Минимизация затрат).

Фирма реализует автомобили двумя способами: через оптовую и розничную торговлю. При реализации х автомобилей в розницу расходы на реализацию составляют х² у. е., а при продаже у автомобилей оптом ‒ у² у. е. Найти оптимальный способ реализации автомобилей, минимизирующий суммарные расходы, если общее число предназначенных для продажи автомобилей составляет 100 шт.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Функция z(x, y) = х²  у² - суммарные расходы при реализации. По условию требуется найти минимум функции z .

Так как для продажи предназначено 100 автомобилей, то х и у связаны между собой условием связи: g(x,y)= х + у  100. Таким образом, получили задачу на условный экстремум.

Составим функцию Лагранжа: L(x, y, ) = х²  у² -(х+у-100) и найдем ее экстремум.

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х, у и неопределенному множителю λ.

_.

Из первого уравнения выразим _вычтем второе уравнение:

_

Сложим второе и третье уравнения:

_{ }

М(50, 50) ‒ стационарная точка, _.

Перепишем функцию Лагранжа с учетом _

L(x, y) = х²  у² -100(х+у-100)

Применяем достаточное условие экстремума функции двух переменных:

_ A=_

_ C=_

_ B=_

=AC-B²=40.

Так как 0 и A0, то в стационарной точке М(50, 50) функция L(х, у) имеет минимум.

Следовательно, функция z(x, y) в точке М(50, 50) имеет условный минимум и

z_min(50, 50)=50²+50²=5000.

Поэтому оптимальный способ реализации автомобилей ‒ это 50 автомобилей в розницу и 50 автомобилей оптом. Расходы при этом составят 5000 у. е.

Литература

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс/ Дмитрий Письменный – 13-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2014.

3. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций/ В.А. Малугин – М.: ЭКСМО, 2009.

4. Высшая математика для экономистов: Практикум / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ -  ДАНА, 2012.

5. Боронина Е.Б. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие.— Саратов: Научная книга, 2012. — 159 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/6298.— ЭБС «IPRbooks»

6. Гунько Ю.А. Математический анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие— Волгоград: Волгоградский институт бизнеса, Вузовское образование,2008.151c. Режимдоступа: http://www.iprbookshop.ru/11335. — ЭБС «IPRbooks»
7. Самарин Ю.П. Высшая математика [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Самарин Ю.П.— Электрон. текстовые данные.— М.: Машиностроение, 2006.— 432 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/5156.— ЭБС «IPRbooks», по паролю

8. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.Учеб. пособие для вузов/ П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. – 7-е изд., испр. - М.:ООО «Издательство Оникс»:ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008

5