Трапеция, её виды и свойства.

Трапеция.

Определение. Трапецией называется выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные стороны называются боковыми сторонами трапеции.

– основания,

– боковые стороны.

Трапеция бывает равнобедренной (равнобокой) и прямоугольной.

О пределение. Равнобедренной (равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобедренной трапеции.

1. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

2. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Определение. Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Свойства прямоугольной трапеции.

1. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона является высотой трапеции.

2. В прямоугольной трапеции два угла прямые, один острый и один тупой.

3. Е сли из вершины тупого угла прямоугольной трапеции провести высоту, то она разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

– высота,

, – острый, – тупой,

– высота, – прямоугольник, –

прямоугольный треугольник.

1. В трапеции – меньшее основание. На отрезке взята точка так, что . Найдите углы трапеции.

2. В прямоугольной трапеции острый угол равен . Меньшая боковая сторона и меньшее основание равны по см. Найдите большее основание.

3. Постройте прямоугольную трапецию по меньшему основанию и боковым сторонам.

4. В трапеции – большее основание. Прямые и пересекаются в точке . Найдите углы трапеции.

5. В прямоугольной трапеции острый угол равен . Большая боковая сторона и большее основание равны по см. Найдите меньшее основание.

6. Постройте прямоугольную трапецию по меньшей диагонали, большему основанию и большей боковой стороне.

7. В равнобедренной трапеции и – основания, диагонали взаимно перпендикулярны. см. Чему равна высота трапеции?

8. В равнобедренной трапеции и – основания, диагонали взаимно перпендикулярны. см. Чему равна длина отрезка ?

9. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в . Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

10. В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет меньшая диагональ с меньшим основанием равны по . Найдите отношение оснований.

11. Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне, большему основанию и отрезку длиной, равной расстоянию между прямыми, содержащими основания трапеции.

12. В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превосходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Найдите углы трапеции.

13. В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне, острый угол равен . Найдите отношение оснований.

14. Постройте равнобедренную трапецию по диагонали, большему основанию и перпендикуляру, проведённому из вершины тупого угла к прямой, содержащей большее основание трапеции.

15. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции проведён перпендикуляр к прямой , содержащей большее основание. Докажите, что .

16. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в . Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

17. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу, диагонали и перпендикуляру, проведённому из вершины острого угла к прямой, содержащей меньшее основание трапеции.

18. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние между прямыми и , содержащими основания, равно .

19. Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной трапеции под углом к этому основанию проведён луч, который проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.

20. Постройте равнобедренную трапецию по двум углам, на которые диагональ делит тупой угол, и отрезку длиной, равной расстоянию между прямыми, содержащими основание трапеции.

21. Докажите, что сумма боковых сторон любой трапеции больше разности её большего и меньшего оснований.

22. Найдите связь между сторонами трапеции, если известно, что внутри трапеции существует точка, равноудалённая от прямых, содержащих её стороны.

23. Постройте трапецию по двум диагоналям, углу между ними и одной из боковых сторон.

24. Докажите, что сумма диагоналей любой трапеции больше суммы её оснований.

25. Найдите связь между противоположными углами трапеции, если известно, что внутри неё существует точка, равноудалённая от вершин трапеции.

26. Постройте трапецию по четырём сторонам.

27. В трапеции точка – середина большего основания . Найдите углы и .

28. Дан четырёхугольник , в котором диагонали имеют общую середину. На продолжении стороны за вершину взята точка , . Докажите, что четырёхугольник является равнобедренной трапецией.

29. В четырёхугольнике . На стороне взята точка так, что . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольной трапецией.

30. В трапеции на большем основании взята точка . Известно, что . Докажите, что отрезки и имеют общую середину.

31. В трапеции с основаниями и . Найдите углы трапеции.

32. В прямоугольной трапеции острый угол равен , а меньшее основание и меньшая боковая сторона равны по см. Найдите большее основание.

33. В равнобедренной трапеции перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой , делит большее основание на отрезки длиной см и см. Найдите основания трапеции.

34. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны см и см, а один из углов равен .

35. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если её большее основание равно см, боковая сторона см, а один из углов равен .

36. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны см и см, а один из углов равен .

37. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны см и см, а один из углов равен .

38. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки см и см. Найдите основания трапеции.

39. Два противоположных угла равнобедренной трапеции относятся как . Найдите углы трапеции.

40. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Периметр трапеции равен см, а большее основание – см. Найдите меньшее основание трапеции.

41. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что боковая сторона равна диагонали.

42. Могут ли углы трапеции быть пропорциональны числам ?

43. В равнобедренной трапеции , в которой – большее основание, диагональ – биссектриса угла . Найдите углы трапеции, если .

44. Диагонали трапеции являются биссектрисами её углов при большем основании .

1. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

2. Докажите, что треугольник – равнобедренный ( – точка пересечения диагоналей трапеции).

1. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

2. В трапеции с основаниями и диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .

3. В равнобедренной трапеции отрезок параллелен стороне . Известно, что см, см, см.

1. Определите вид четырёхугольника .

2. Определите вид треугольника и найдите его периметр.

1. В трапеции . Прямая, параллельная стороне , проходит через вершину и точку на большем основании . Найдите острые углы треугольника .

2. В трапеции – большее основание, диагональ является биссектрисой угла . Найдите величину угла , если .

3. В равнобедренной трапеции диагонали являются биссектрисами её тупых углов. Найдите периметр трапеции, если длины оснований равны см и см.

2