Тренировочный вариант 3

Единый государственный экзамен, 2021 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №3 от 21.09.2020

3 / 11

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin² 𝛼 + cos² 𝛼 = 1 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

cos 2𝛼 = cos² 𝛼 − sin² 𝛼

sin⁽𝛼 + 𝛽⁾ = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽 cos⁽𝛼 + 𝛽⁾ = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

Часть 1

1

В школе 400 учеников, из них 30% – ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 15% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучает французский язык, если в начальной школе французский язык не изучается?

Ответ: .

2

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси – напряжение в вольтах. Определите по рисунку, на сколько вольт упадёт напряжение за первые 10 часов работы фонарика.

Ответ: .

^{На клетчатой бумаге с размером клетки} √^{5 ×} √^{5 изображён треугольник}

3

𝐴𝐵𝐶. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону 𝐵𝐶.

Ответ: .

4

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.

Ответ: .

5

Решите уравнение

√40 + 3𝑥 = 𝑥.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Ответ: .

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

6

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

Ответ: .

7

На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾ − производной функции 𝑓⁽𝑥⁾,

определённой на интервале ⁽−9; 8⁾. Найдите точку экстремума функции

𝑓⁽𝑥⁾ на отрезке [−3; 3].

Ответ: .

8

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Ответ: .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2

Наблюдатель находится на высоте ℎ (в км). Расстояние 𝑙 (в км) от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле

10

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

^{𝑙 =} √^{2𝑅ℎ, где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. На какой высоте находится} наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 96 км? Ответ дайте в км.

Ответ: .

11

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй – 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

Ответ: .

9

Найдите

16 cos 2𝛼, если cos 𝛼 = 0,5.

Ответ: .

Найдите наибольшее значение функции

12

𝜋

𝑦 = 20 tg 𝑥 − 20𝑥 + 5𝜋 − 6 на отрезке [−

4

Ответ: .

𝜋

; ]. 4

13

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а) Решите уравнение

3𝜋 2sin²𝑥 + 4 = 3√3 sin (

2

+ 𝑥).

В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере 𝑆

17

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

млн рублей, где 𝑆 − целое число. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

5𝜋

[− ; −𝜋].

14

2

^{В пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 известны длины рёбер: 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 =} √^{29, 𝐵𝐶 = 𝑆𝐴 = 2}√^5,

^{𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 =} √^13.

а) Докажите, что прямая 𝑆𝐴 перпендикулярна прямой 𝐵𝐶.

б) Найдите угол между прямой 𝑆𝐴 и плоскостью 𝑆𝐵𝐶.

15

Решите неравенство

15^𝑥 − 9 ∙ 5^𝑥 − 3^𝑥 + 9 ≤ 0.

16

В трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 углы 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 прямые. а) Докажите, что 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.

б) Найдите 𝐴𝐷, если 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 7.

Месяц и год	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019	Июль 2020
Долг (в млн рублей)	𝑆	0,7𝑆	0,4𝑆	0

Найдите наибольшее значение 𝑆, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 2 млн рублей.

18

Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение

⁽4 cos 𝑥 − 3 − 𝑎⁾ ∙ cos 𝑥 − 2,5 cos 2𝑥 + 1,5 = 0

имеет хотя бы один корень.

19

Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 5 дней?

б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 10 дней?

в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 6 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за семь дней Петя решил больше задач, чем Вася.

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта

«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безвозмездно распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-10175642_41259310

(также доступны другие варианты для скачивания)

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:
ФИО:	Евгений Пифагор
Предмет:	Математика
Стаж:	10-й год готовлю к ЕГЭ
Регалии:	Набрал 98 баллов на ЕГЭ по математике (профиль) 20 учеников набрали 90-99 баллов на ЕГЭ 2020 Высшее образование (ТГУ, 2009-2014) Победитель трёх олимпиад по высшей математике
Аккаунт и группа ВК:	https://vk.com/eugene10 https://vk.com/shkolapifagora
Ютуб и инстаграм:	https://youtube.com/c/pifagor1 https://instagram.com/shkola_pifagora

Номер задания	Правильный ответ	Видео решение
1	42
2	0,4
3	5
4	0,5
5	8
6	31
7	-2
8	4,5
9	-8
10	0,72
11	15
12	14
13	5𝜋 а) ± + 2𝜋𝑛; 𝑛 ∈ 𝑍 6 7𝜋 б) − 6
14	1 arccos ( ) 2√10
15	[0; 2]
16	8
17	26
18	(−∞; −6] 𝖴 [0; +∞)
19	а) да б) нет в) 72

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200921

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952)

«82. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом.

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

Существенными считаются следующие расхождения:

1. расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, который был оценен двумя экспертами со столь существенным расхождением;

2. расхождения экспертов при оценивании ответов на хотя бы два из заданий 13–19. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы.

© 2020 Всероссийский проект «ЕГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov

Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: https://vk.com/topic-40390806_40779359

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях