Тренировочный вариант 4

Единый государственный экзамен, 2021 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №4 от 28.09.2020

3 / 10

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin² 𝛼 + cos² 𝛼 = 1 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

cos 2𝛼 = cos² 𝛼 − sin² 𝛼

sin⁽𝛼 + 𝛽⁾ = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽 cos⁽𝛼 + 𝛽⁾ = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

Часть 1

1

Железнодорожный билет для взрослого стоит 450 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Ответ: .

2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Новгороде по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев с начала августа по конец года, когда среднемесячная температура в Новгороде положительна.

Ответ: .

3

Найдите площадь ромба, изображённого на рисунке.

Ответ: .

4

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Ответ: .

5

Найдите корень уравнения

√−72 − 17𝑥 = −𝑥.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Ответ: .

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

6

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

Ответ: .

7

На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓⁽𝑥⁾. На оси абсцисс отмечены точки −1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ: .

^{Объём куба равен 24}√^{3. Найдите его диагональ.}

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

8

Ответ: .

Часть 2

9

Найдите значение выражения

⁽1 − log₂ 12⁾ ∙ ⁽1 − log₆ 12⁾.

Ответ: .

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по

𝑅ℎ

10

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

формуле 𝑙 = √ , где 𝑅 = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на

500

пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 километров. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 10 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?

Ответ: .

11

Лене надо подписать 972 открытки. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Лена подписала 20 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за седьмой день, если вся работа была выполнена за 18 дней.

Ответ: .

12

Найдите наименьшее значение функции

_{𝑦 = 4}𝑥²−12𝑥+38_.

Ответ: .

13

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а) Решите уравнение

27

6log² 𝑥 + 5 log₂₇ 𝑥 + 1 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, которые больше 0,3.

1. го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

• 17

  ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

  1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

• к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после

1

1

1

14

1

Основание прямой призмы 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

− ромб 𝐴𝐵𝐶𝐷 с углом 120° при

полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

вершине 𝐷, а боковые грани призмы – квадраты.

а) Докажите, что прямые 𝐴₁𝐶 и 𝐵𝐷 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между этими прямыми, если сторона основания ^{призмы равна 8}√^3.

15

Решите неравенство

lg⁴𝑥 − 4lg³𝑥 + 5lg²𝑥 − 2 lg 𝑥 ≥ 0.

16

В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с углом 120° при вершине 𝐴 проведена биссектриса 𝐵𝐷. В треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписан прямоугольник 𝐷𝐸𝐹𝐻 так, что сторона 𝐻𝐹 лежит на отрезке 𝐵𝐶, а вершина 𝐸 − на отрезке 𝐴𝐵.

а) Докажите, что 𝐹𝐻 = 2𝐷𝐻.

б) Найдите площадь прямоугольника 𝐷𝐸𝐹𝐻, если 𝐴𝐵 = 2.

Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых система

18

⁽𝑥 − 4⁾² + ⁽𝑦 − 4⁾² = 9,

^{ 𝑦 = ^|𝑥 − 𝑎^| + 1

имеет ровно три различных решения.

19

Назовём натуральное число хорошим, если в нём можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 5432 хорошим? б) Является ли число 10235 хорошим?

в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечётных цифр.

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта

«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безвозмездно распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-10175642_41259310

(также доступны другие варианты для скачивания)

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:
ФИО:	Евгений Пифагор
Предмет:	Математика
Стаж:	10-й год готовлю к ЕГЭ
Регалии:	Набрал 98 баллов на ЕГЭ по математике (профиль) 20 учеников набрали 90-99 баллов на ЕГЭ 2020 Высшее образование (ТГУ, 2009-2014) Победитель трёх олимпиад по высшей математике
Аккаунт и группа ВК:	https://vk.com/eugene10 https://vk.com/shkolapifagora
Ютуб и инстаграм:	https://youtube.com/c/pifagor1 https://instagram.com/shkola_pifagora

Номер задания	Правильный ответ	Видео решение
1	5400
2	3
3	8
4	0,027
5	-9
6	14
7	-1
8	6
9	1
10	14
11	44
12	16
13	1 1 а) ; 3√3 3 1 б) 3
14	6
15	(0; 1] 𝖴 {10} 𝖴 [100; +∞)
16	6 − 3√3
17	200 тыс.
18	4; 3√2 + 1; 7 − 3√2
19	а) да б) нет в) 139

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 200928

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952)

«82. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом.

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

Существенными считаются следующие расхождения:

1. расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, который был оценен двумя экспертами со столь существенным расхождением;

2. расхождения экспертов при оценивании ответов на хотя бы два из заданий 13–19. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы.

© 2020 Всероссийский проект «ЕГЭ 100БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov

Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: https://vk.com/topic-40390806_40779359

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях