Тренировочный вариант 5

Единый государственный экзамен, 2021 г.

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень

Тренировочный вариант №5 от 05.10.2020

3 / 10

Ответом к заданиям 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного уровня сложности и 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Справочные материалы

sin² 𝛼 + cos² 𝛼 = 1 sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 ⋅ cos 𝛼

cos 2𝛼 = cos² 𝛼 − sin² 𝛼

sin⁽𝛼 + 𝛽⁾ = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽 cos⁽𝛼 + 𝛽⁾ = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

Часть 1

1

Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 56 км в час? Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.

Ответ: .

2

На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену никеля на момент закрытия торгов в период с 11 по 17 ноября (в долларах США за тонну).

Ответ: .

3

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: .

4

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°С, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°С или выше.

Ответ: .

5

Решите уравнение

log_𝑥−1 81 = 2.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. Ответ: .

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

6

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

Ответ: .

7

На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓^′(𝑥⁾ — производной функции 𝑓⁽𝑥⁾,

определенной на интервале ⁽−9; 2⁾. В какой точке отрезка ^[−8; −4^] функция

𝑓⁽𝑥⁾ принимает наибольшее значение?

Ответ: .

8

Дана правильная четырёхугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём

Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика 𝐻 (в м)

10

многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴₁, 𝐵₁.

вычисляется по формуле 𝐻 = ^𝑣02 ⁽1 − cos 𝛼⁾, где 𝑣

= 26 м/с – начальная

4𝑔 ⁰

скорость мячика, а 𝑔 − ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с²). При каком наименьшем значении угла 𝛼 мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Ответ: .

Ответ: .

На изготовлении 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

11

Ответ: .

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1.

Часть 2

9

Найдите значение выражения

−6 sin 374°

Найдите наибольшее значение функции

12

1 5

𝑦 = ln⁽8𝑥⁾ − 8𝑥 + 7 на отрезке [ ; ].

16 16

.

sin 14°

Ответ: .

Ответ: .

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

13

Для записи решений и ответов на задания 13–19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

а) Решите уравнение

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

• 17

  ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

  1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

• 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину

4

sin² (^7𝜋 − 𝑥) 2

11

− + 6 = 0.

cos 𝑥

меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958,5 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

7𝜋

[2𝜋; ]. 2

14

В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 сторона основания 𝐴𝐵 равна 60, а боковое ребро 𝑆𝐴 равно 37. Точки 𝑀 и 𝑁 − середины рёбер 𝑆𝐴 и 𝑆𝐵 соответственно. Плоскость 𝛼 содержит прямую 𝑀𝑁 и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость 𝛼 делит медиану 𝐶𝐸 основания в отношении 5:1, считая от точки 𝐶.

б) Найдите расстояние от вершины 𝐴 до плоскости 𝛼.

15

Решите неравенство

месяцев?

18

Найдите все значения 𝑎, при каждом из которых уравнение

^|𝑥² − 2𝑎𝑥 + 7^| = ^|6𝑎 − 𝑥² − 2𝑥 − 1^|

имеет более двух различных корней.

19

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг и 60 штук по 1500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные

3

log₃ 𝑥 log ( ^𝑥 )

27

4

≥

log₃

8

3

3

𝑥 ⁺ log²𝑥 − log

_𝑥3.

глыбы поместятся?

16

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Дана трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶. Диагональ 𝐵𝐷 разбивает её на

Проверьте, чтобы каждый ответ был записан рядом с номером соответствующего задания.

два равнобедренных треугольника с основаниями 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷.

а) Докажите, что луч 𝐴𝐶 − биссектриса угла 𝐵𝐴𝐷.

б) Найдите 𝐶𝐷, если известны диагонали трапеции: 𝐴𝐶 = 12 и 𝐵𝐷 = 6,5.

О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта

«ЕГЭ 100 баллов» https://vk.com/ege100ballov и безвозмездно распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-10175642_41259310

(также доступны другие варианты для скачивания)

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

Система оценивания экзаменационной работы по математике (профильный уровень)

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:
ФИО:	Евгений Пифагор
Предмет:	Математика
Стаж:	10-й год готовлю к ЕГЭ
Регалии:	Набрал 98 баллов на ЕГЭ по математике (профиль) 20 учеников набрали 90-99 баллов на ЕГЭ 2020 Высшее образование (ТГУ, 2009-2014) Победитель трёх олимпиад по высшей математике
Аккаунт и группа ВК:	https://vk.com/eugene10 https://vk.com/shkolapifagora
Ютуб и инстаграм:	https://youtube.com/c/pifagor1 https://instagram.com/shkola_pifagora

Номер задания	Правильный ответ	Видео решение
1	35
2	10400
3	18
4	0,06
5	10
6	4,5
7	-4
8	14
9	-6
10	60
11	8
12	6
13	𝜋 а) ± + 2𝜋𝑛; 𝑛 ∈ 𝑍 3 7𝜋 б) 3
14	5√3
15	(0; 1) 𝖴 {9} 𝖴 (27; +∞)
16	5
17	1066,5 тыс.
18	8 8 (−∞; −2√10 − 5) 𝖴 {−1} 𝖴 (2√10 − 5; ) 𝖴 ( ; +∞) 3 3
19	а) да б) нет в) 39

Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

Решения и критерии оценивания заданий 13–19

Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13–19, зависит от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ № 201005

В соответствии с Порядком проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования (приказ Минпросвещения России и Рособрнадзора от 07.11.2018 № 190/1512, зарегистрирован Минюстом России 10.12.2018 № 52952)

«82. По результатам первой и второй проверок эксперты независимо друг от друга выставляют баллы за каждый ответ на задания экзаменационной работы ЕГЭ с развернутым ответом.

В случае существенного расхождения в баллах, выставленных двумя экспертами, назначается третья проверка. Существенное расхождение в баллах определено в критериях оценивания по соответствующему учебному предмету.

Эксперту, осуществляющему третью проверку, предоставляется информация о баллах, выставленных экспертами, ранее проверявшими экзаменационную работу».

Существенными считаются следующие расхождения:

1. расхождение в баллах, выставленных двумя экспертами за выполнение любого из заданий 13–19, составляет 2 или более балла. В этом случае третий эксперт проверяет только ответ на то задание, который был оценен двумя экспертами со столь существенным расхождением;

2. расхождения экспертов при оценивании ответов на хотя бы два из заданий 13–19. В этом случае третий эксперт проверяет ответы на все задания работы.

© 2020 Всероссийский проект «ЕГЭ 100БАЛЛОВ» vk.com/ege100ballov

Составитель: Школа Пифагора

Обсуждение заданий: https://vk.com/topic-40390806_40779359

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях