Тренировочный вариант ЕГЭ профильного уровня от 9.03.2025г

Профильный уровень Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности. Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и № 2 был записан под правильным номером.

ЖЕЛАЕМ УСПЕХА!

Справочные материалы

sin ²   cos²   1 sin 2  2 sin  cos  cos 2  cos²   sin ² 

sin _  _  sin  cos  cossin 

cos_  _  cos cos  sin sin 

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма ABCD делит противоположную сторону в отношении 4:3, 4:3считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с

прямым углом C известно, что AB  7 . Найдите скалярное произведение векторов и

1. Найдите площадь боковой поверхности

правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен

2 , а высота равна 2.

4. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

6. Найдите корень уравнения

^7. Найдите значение выражения ^{5sin 74}

8. На рисунке изображен

производной функции

определенной на интервале

^{9; 2} ^{. Найдите промежутки}

убывания функции ). В ответе

укажите сумму целых точек, входящих

в эти промежутки.

9. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой

f₀  440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе

тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону

Гц, где c — скорость звука в (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы а c  315 м/с. Ответ выразите в м/с.

10. Расстояние между городами A и B равно 150 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 30 минут следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до C. Ответ дайте в километрах.

11. На рисунке изображён график

Функции Найдите

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте, чтобы каждый ответ был записан в строке с номером соответствующего задания.

Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.

13. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

промежутку .

14. В правильном тетраэдре ABCD с ребром 10 на ребрах AD, BD и AC выбраны точки K, L и M так, что KD  4, MC  6, LD 8. Плоскость, проходящая через точки K, L и M, пересекает ребро BC в точке P.

а) Докажите, что CP : PB 9 :1 .

б) Найдите площадь четырехугольника MKLP

15. Решите неравенство:

16. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа месяца и все следующие месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на 50 тысяч рублей, в течении 1-го года, на 30 тысяч рублей в течении 2-го года. Найдите сумму выплаченную банку?

17. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?

18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|sin ² x  2 cos x  a|  sin ² x  cos x  a

имеет на промежутке единственный корень.

19. Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третье — 103, а в четвёртой — 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?