Россия, город Нязепетровск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до 24.05.2025
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 20.05.2025 11:12
Берсенева Татьяна Алексеевна
учитель математики
35 лет
4 337
12 645 
Местоположение
Специализация
Треугольник Паскаля
Категория:
Математика
20.02.2025 09:58
Просмотр содержимого документа
«Треугольник Паскаля»
Число сочетаний. Треугольник Паскаля.
ПРИМЕР 1
Из трёх игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?
Решение .
Обозначим игроков различными буквами А, В, С и выпишем все возможные комбинации:
АВ АС ВА ВС СА СВ
Сначала мы брали игрока А и добавляли к нему в пару ещё одного из двух оставшихся игроков. Так получились первые две пары АВ и АС в нашем списке. Затем мы взяли игрока В и к нему добавляли одного из двух оставшихся. Так получились пары ВА и ВС. Наконец, первым поставили игрока С и добавляли к нему одного из оставшихся игроков. Получили последние две пары СА и СВ.
Однако среди полученных таким образом комбинаций попадаются перестановки одной и той же пары. Например, АВ и ВА – это одна и та же пара. Совпадают и другие пары: АС и СА, а также ВС и СВ. Таким образом, всего различных пар три:
АВ АС ВС
Общее число комбинаций букв А, В и С сократилось в 2 раза. Это произошло потому, что из двух разных букв можно составить ровно 2 перестановки.
ПРИМЕР 2
Сколькими способами можно выбрать двух игроков из четырёх заявленных на матч?
Решение.
Обозначим игроков А, В, С и D. Начнём, как и в предыдущем примере, составлять пары. Первого игрока мы можем выбрать четырьмя способами. Вторым к нему мы можем взять любого из оставшихся трёх:
АВ АС АD
ВА ВС ВD
СА СВ СD
DА DВ DС
Получилось 12 комбинаций. При этом, как и в предыдущем примере, каждая пара посчитана дважды. Поэтому различных пар всего 6:
АВ AC AD ВС BD CD
Определение . Сочетанием из N элементов по k называют комбинацию, составленную из любых k этих элементов без учета их порядка. Обозначается (читается «цэ из эн по ка»).
=
ПРИМЕР 3 . Найдём ,
Решение .
= = 126
= = 210
= = 56
Свойства сочетаний
До сих пор мы установили, что = 3 и = 6. Если число n небольшое, то число сочетаний можно взять из треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля .
Треугольник рисуют в симметричной форме в виде бесконечной таблицы, в вершине и по бокам которой стоят 1, а каждое другое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним.
Так как треугольник Паскаля изображают в виде равнобедренного треугольника, поэтому столбцы в треугольнике получаются наклонные.
Столбцы и строки треугольника Паскаля нумеруются начиная с нуля.
Число стоит в n – й строке и в k – м столбце. Например, чтобы найти , посмотрим, какое число стоит на пересечении 6 – й строки и 4 – го столбца. Это число 15. Значит, = 15.
Если число n велико, то лучше пользоваться формулой. Найдём .
= = 126.
Это же значение можно найти в треугольнике Паскаля на пересечении 9 – й строки и 4 – го столбца.
9 строка
Пример 4
В текущем учебном году десятиклассникам предлагаются на выбор 7 дополнительных предметов, из которых они должны выбрать для посещения 4. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Ответ: 35 способов
Пример 5
Из класса, в котором учится 13 мальчиков и 17 девочек, нужно набрать команду для участия в школьной олимпиаде по спортивному многоборью. В команде должно быть 2 мальчика и 2 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Посчитаем сначала, сколькими способами можно выбрать 2 мальчиков из 13:
Теперь сколькими способами можно выбрать 2 девочек из 17:
Чтобы получить общее число способов, которым можно собрать команду, нужно воспользоваться правилом умножения:
* = 78*136 = 10608
Ответ: 10608 способов
Пример 6
Для поездки на экскурсию 30 участников олимпиады нужно распределить по трём микроавтобусам, каждый из которых вмещает 10 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Сначала выберем 10 человек для первого микроавтобуса:
Осталось 20 человек, из которых снова нужно выбрать 10 для второго микроавтобуса:
Оставшиеся 10 человек едут на третьем микроавтобусе — здесь уже ничего выбирать не нужно, или можно сказать, что здесь всего один вариант:
Чтобы получить ответ, используем правило умножения:
* * =**1=5 550 996 791 340.
Ответ: 5 550 996 791 340 способов
Пример 7
Собрание из 40 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Решение
Председателя можно выбрать способами, секретаря способами, а трех членов комиссии способами.
* * = * * = = 13160160
Ответ: 13160160
Задание 1
Найдите:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Задание 2
Из класса, в котором учится 15 девочек и 10 мальчиков, нужно выбрать делегацию на слёт из 3 девочек и 3 мальчиков. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 54600
Задание 3
Сколькими способами можно выбрать:
а) 7 предметов из 9; в) 4 предмета из 12;
б) 2 предмета из 6; г) 5 предметов из 13?
Задание 4
Из 10 пронумерованных белых и 8 пронумерованных красных роз надо составить букет, содержащий 2 белые и 3 красные розы. Сколькими способами можно это сделать?
Ответ: 2520 букетов
Задание 5
Из группы, в которую входят 7 мальчиков и 4 девочки, нужно составить команду из 6 человек так, чтобы в неё входило не менее двух девочек. Сколько есть способов составить такую команду?
Ответ: 371 способ
Домашнее задание:
1. Сколькими способами можно отобрать стартовую шестёрку игроков в волейбольном матче, если всего в команде:
а) 10 игроков; б) 14 игроков?
2. Предприниматель хочет отправить рекламные объявления в три газеты. Сколькими способами можно выбрать эти три газеты из:
а) 7 газет; б) 9 газет; в) 15 газет?
3. Сколькими способами можно раздать 6 предметов трем лицам так, чтобы каждый получил по 2 предмета?
4. Сколькими способами можно выбрать 2 карандаша и 3 ручки из 6 разных карандашей и 8 разных ручек?
5. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно выбрать 6 карт так, чтобы среди них было ровно 2 туза?
© 2025, Берсенева Татьяна Алексеевна 189 0
Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей
Похожие файлы
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Закрыть через 5 секунд
