Треугольник Паскаля

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Алексеевский аграрный колледж»

Исследовательская работа

по теме: «Треугольник Паскаля»

Автор: Садыкова Дайанна Садыковна, 1 курс

Руководитель: Гайнутдинова Рамзия Сагитовна

1. Введение

1. Основная часть

1. Блез Паскаль

2. Треугольник Паскаля

3. Свойства треугольника Паскаля и их применение в решении задач

4. Составление последовательности тренировочных задач по теме «Треугольник Паскаля»

1. Заключение

2. Библиографический список

I. Введение

На уроках геометрии мы часто разбирали темы связанные с треугольниками. Из учебника я узнала, что треугольники бывают прямоугольные, равносторонние и многие другие, но там рассказывалось только о геометрических треугольниках, и мне стало интересно узнать, существуют ли другие виды треугольников. Оказалось, что ещё бывают знаковые и арифметические треугольники. Одним из арифметических треугольников является треугольник Паскаля. О нём говорилось, что он обладает уникальными свойствами и с его помощью можно с лёгкостью решать многие задачи. Это меня очень заинтерисовало, и я решила изучить свойства треугольника Паскаля и научиться с его помощью решать задачи.

Когда я подробно познакомилась с треугольником Паскаля, большим открытием для меня оказалось, что это и не совсем треугольник в привычном для нас представлении. Это скорее таблица с интересной структурой, простой и совершенной, содержащая числа – коэффициенты. Поскольку числа данного треугольника обладают особыми свойствами, то сам треугольник Паскаля можно считать универсальным математическим инструментом.

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

Существует множество видов треугольников, но больше всего меня заинтересовала треугольник Паскаля.

Актуальность: Данная работа позволяет выявить, насколько широко может применять треугольник Паскаля в практической жизни и повысить навыки решения задач с применением треугольника Паскаля, которые могут помочь в рамках изучения курса математики.

Новизна проекта

Новизна моего исследования состоит в том, что я попыталась показать связь треугольников с жизнью.

Практическое значение работы: Данный проект могут быть использован в качестве материала на уроках алгебры и геометрии, а также для самостоятельной работы обучающихся.

Цель иследования: ознакомиться с «треугольником Паскаля», изучить его свойства, рассмотреть его применение в решении математических задач.

Задачи: изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»,выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля, определить применение свойств чисел треугольника Паскаля, сформулировать вывод и итоги исследования;

Обьект иследования: треугольник Паскаля.

Методы исследования:

- аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

- поиск информации в интернет - ресурсах.

Направления работы:

- выбор проблемы, источников литературы, составление плана;

- работа с литературой и другими источниками;

- обработка полученных данных;

- анализ результатов, формулирование вывода;

Основные этапы проекта: подготовительный; деятельности;

II. Основная часть

Блез Паскаль – французский математик

Блез Паскаль (фр. Blaise Pascal; 19 июня 1623, Клермон-Ферран, Франция - 19 августа 1662, Париж, Франция) - французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. Паскаль родился в городе Клермон-Ферран (французская провинция Овернь) в семье председателя налогового управления Этьена Паскаля и Антуанетты Бегон, дочери сенешаля Оверни. У Паскалей было трое детей - Блез и две его сестры: младшая - Жаклин и старшая - Жильберта. Мать умерла, когда Блезу было 3 года. В 1631 году семья переехала в Париж. Блез рос одарённым ребёнком. Его отец Этьен самостоятельно занимался образованием мальчика; Этьен и сам неплохо разбирался в математике - дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля», входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришельё. Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12 лет, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил и последующем переходе к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально. В доме постоянно велись беседы по вопросам математики и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем познакомить его с этим предметом. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, Этьен кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию «палочкой», а окружность «колечком». Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. По совету своего друга Ле Пайера Этьен Паскаль отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил читать сыну математические книги.

В часы отдыха Блез изучал Евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом - Дезарга. В 1634 году (Блезу было 11 лет), кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках». С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования.

Также он сконструировал суммирующую машину. Был один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон (Закон Паскаля: давление на поверхность жидкости, производимое внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях). На законе Паскаля основано действие гидравлических прессов и других гидростатических машин.

Одно из его открытий – треугольник Паскаля, именно про него и будет эта работа.

Треугольник Паскаля.

Объяснение

N^ое Число в треугольнике — это коэффициент, который будет стоять при xⁿ , при раскрытии скобок в выражении (1+x)ⁿ .

Число (ⁿ_k) в треугольнике — это число способов из n-элементного множества выбрать k-элементное подмножество*. 

Треугольник Паскаля представляет собой таблицу, в ячейках которой стоят упорядоченные биномиальные коэффициенты для различных степеней сверху-вниз и слева-направо в порядке возрастания. Произвольный биноминальный коэффициент можно вычислить по следующей формуле:

В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел, из-за этого треугольник можно продолжать до бесконечности.

Мартин Гарднер писал в книге «Математические новеллы», что "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике".

Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает замечательными свойствами.

Я узнала, что треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел

Свойства треугольника Паскаля.

Свойство 1. (основное)

Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.

Свойство 2.

Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.

Свойство 3.

Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Свойство 4.

Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Свойство 5. (числа Фибоначчи)

Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

Свойство 6.

Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

Свойство 7.

Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.

Свойство 8.

Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...

Свойство 9.

Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.

Свойство 10.

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

Свойство 11.

Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Свойство 12.

Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.

Решение задач по комбинаторике с помощью треугольника Паскаля.

Задача 1.

В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?

Решение 1.

Эту задачу можно решит с помощью бинома Ньютона

_{ }

Или с помощью треугольника Паскаля. Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду).

На их пересечении будет ответ.

Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.

Решение 2.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Задача 2.

Сколькими способами можно расставить 9 цветов по 3 штуки в букет?

Решение 1.

_{ }

Решение 2.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.

Задача 1.

Найти разложение (х+3)³

Решение.

Воспользуемся треугольником Паскаля.

Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.

Из этого следует, что _³_ 1х³+3х²_3+3х_3²+3³=х³+9х²+27х+27

Пример. Написать разложение вида:

(x + y)⁷ .

      Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером   6   и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером   7:  

      Следовательно,

(x + y)⁷ = x⁷ + 7x⁶y + 21x⁵y² + 35x⁴y² + 35x³y⁴ + 21x²y⁵ + 7xy⁶ + y⁷ .

Задача 2.

Найдите разложение (4+2х)⁵

Решение.

(4+2х)⁵=4⁵+

Нахождение степеней числа 11 с помощью треугольника Паскаля.

Задача 1.

Найдите 11³.

Решение.

Для вычисления этой задачи нам необходимо найти ряд в треугольнике, номер которого будет соответствовать степени, в которую нам необходимо возвести 11.

Если степень меньше пяти, то необходимо просто переписать числа в ряду по порядку.

Третий ряд записывается так: 1 3 3 1.

Поэтому 11³=1331

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Задача 2.Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

1. Заключение

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема.

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности.

IV. Библиографический список

1. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля

2. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. — 456 с. 3. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. - 2 - е изд. – М.: Наука, 1979. – 48с.

4. Удивительный треугольник великого француза // Hard'n'Soft № 10 2003

5. Фукс Д., Фукс М. Арифметика биномиальных коэффициентов // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17-25.

6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

7. http://ru.wikipedia.org/wiki/

8. Weisstein, Eric W. Pascal's Triangle (англ.) насайте Wolfram MathWorld.