Тригонометрические функции двойного и половинного угла: теория и практика

8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕФУНКЦИИ ДВОЙНОГО УГЛА

1.

s i n 2   2 s i n   c o s 

1. c o s 2   c o s 2   s i n 2 

tg2   2tg 

3.

2. c o s 2   2 c o s 2   1

2.

синус двойного угла

3. c o s 2   1  2 s i n 2 

1  t g 2 α

косинус двойного угла

тангенс двойного угла

t g 2 α , ес ли s i n   1 ,      .

Приме р 1. Н а йти s i n 2 α i c o s 2 αo

Решение. Применим формулу (1):

2 2

s in 2   2 s i n   c o s  ,

sin  известен из условия, cos  найдём из соотношения cos    1  sin 2  (перед ра- дикалом выбираем знак минус, т.к. угол  находится во II четверти, в которой косинус от- рицателен):

1 3 3

 1  2

co s    1  

  1      .



4

2

4

 2 

Подставим в формулу (1), получим

1  3 

3

s i n 2   2        .

2 2 2





Применим формулу (2.3):

1 1

 1  2

2

c o s 2   1  2 s i n  , c o s 2   1  2  

 1   .



2 2

 2 

tg 2  найдём по определению

tg2α  sin2α ,

t g 2 α   3  1   3 .

c o s 2 α 2 2

П ример 2. У п ро с т и ть в ыр а ж е ние 1  s i n 2   c os 2  .

1  s i n 2   c os 2 

Решение. Применим в числителе и в знаменателе формулы синуса и косинуса двойного

угла

18

1  sin 2   cos2   1  2sin  cos   cos 2   sin 2   2sin 2   2sin  cos  

1  s i n 2   c o s 2 

1  2sin  cos   cos 2   sin 2  2cos 2   2sin  cos 

.

 2 s i n   s i n   c o s    t g  .

2 c o s   s i n   c o s  

Пример 3. Выразить sin3 x и cos3 x через одноимённые тригонометрические функции угла x .

Решение. Представим 3 x  2 x  x и применим формулу синуса суммы, а затем фор- мулы синуса и косинуса двойного угла, получим:

sin3 x  sin(2 x  x )  sin 2 x cos x  cos 2 x sin x  2sin x cos 2 x  sin x  2sin 3 x .

Пр е д с та в им c o s 2 x  1  s i n 2 x , тогда

2 s i n x  1  s i n 2 x   s i n x  2 s in 3 x  2 s i n x  2 s in 3 x  s i n x  2 s in 3 x  3 s i n x  4 s in 3 x .

Таким образом,

si n 3 x  3 si n x  4 si n 3 x .

Аналогичным образом выведем формулу для cos3 x :

cos3 x  cos(2 x  x )  cos 2 x cos x  sin 2 x sin x  (2 cos 2 x  1) cos x  2sin 2 x cos x 

 2 cos 3 x  cos x  2(1  cos 2 x ) cos x  2 cos 3 x  cos x  2 cos x  2 cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x

Таким образом,

c o s 3 x  4 c os 3 x  3 c o s x .

Данные формулы называют формулами синуса и косинуса тройного угла соответствен- но. Эти формулы часто применяют при упрощении тригонометрических выражений и реше- нии тригонометрических уравнений.

Упражнения:

№ 1. Найти:

1) co s 2  , ес ли t g   3 , 1 8 0 0    2 7 0 0

Ответ:  4

5

Ответ:  3

4

Ответ:

5

Ответ:  3

5

24

Ответ:

7

2) t g 2  , ес ли s i n    1 , 27 0 0    36 0 0

2

3) s i n 2  , ес ли t g   2 , 18 0 0    27 0 0

4) s i n 2  , ес ли t g    1 , 9 0 0    18 0 0

3

5) c t g 2  , ес ли s i n   4 , 9 0 0    18 0 0

5

19

6) t g 2  , ес ли c o s    3

7) sin22 0 30  cos22 0 30 

8) 2sin15 0 cos15 0

, 18 0 0    27 0 0

Ответ:

2

9) cos 2   sin 2 

3

1

Ответ:

4

Ответ:

2

Ответ:

2

2

8

2tg22 0 30 

10)

1  t g 2 2 2 0 30 

2

8

Ответ: 1

№ 2. Упростить выражения:

2

t g α  c t g α

Отв е т: s i n 2 

Ответ: 2cos 2 

Ответ: tg 

1)

2) 1  co s 2 

s i n 2   s i n 

3)

1  c o s   c o s 2  s i n 2   s i n 

Ответ: tg 

4)

1  c o s 2   c o s 

1  cos 2 

5)

Отв е т: c t g 2 

1  cos 2 

1  cos 2   s i n 2 

6)

Ответ: tg 

1  cos 2   s i n 2  1  s i n 2 

c o s 2 

s i n   co s  c o s   s i n 

7)

Отв е т:

c o s 2  c o s   s i n 

• c o s 

Ответ: sin 

8)

s i n 3   s i n 3 

Ответ: ctg 

9)

co s 3   co s 3 

c o s 2   c o s 2 

2

Отв е т:  t g 

10)

1  c o s 2 

2 s i n 2   s i n 4 

11)

Отв е т: t g 2 

Ответ: 2

s i n 4   2 s i n 2 

12)  t g α  c t g α   si n 2 α

c o s 2 2   4 c o s 2   3

13)

c o s 2 2   4 c o s 2   1

4

Ответ: tg 

Отв е т: c o s 2   t g 

14) s i n 2   t g 2 

20

№ 3*** Доказать тождества:

1) c o s 4   s i n 4   1  0 , 5 s i n 2 2 

2) cos 6   s i n 6   1  0 , 7 5 s i n 2 2 

1  s i n 2    

3)  t g  

4) 1  s i n   2 c o s 2     

 4 2 

 4 

c os 2 





 

2 c o s  2   4 5 0 

5) c o s 4   s i n 4   s i n 2  

*** – задание повышенной сложности

9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО УГЛА

Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выра-



зить функции аргумента через тригонометрические функции аргумента  .

2

2.

1.

s i n    1  c o s  2 2

Синус половинного угла

c o s    1  c o s  2 2

Косинус половинного угла

t g    1  c o s  ,     2 k  1 

2 1  c o s 

3.

t g   s i n  ,     2 k  1 

2 1  c o s 

t g   1  c o s  ,     2 k  1  ,

Тангенс половинного угла

2 sin 

  2  k

Все тригонометрические функции любого аргумента можно выразить через тангенс по- ловинного угла этого аргумента:

2tg 

2 ,



    2 k  1 

sin  

1  t g 2

2

1  t g 2 

    2 k  1 

cos   2 ,

1  t g 2 

2

2tg 

2



tg  

1  t g 2

2

21

Пример 1. Вычислить sin15 0 .

30 0

2

0

Решение. Представим 15 

и применим формулу синуса половинного угла, полу-

ч им:

30 0 1  cos30 0 1 3 2  3 2  3

2 2 2 4 4 2

0

sin15  sin

    

.

В процессе решения перед радикалом выбрали знак +, т.к. угол в 15 0 находится в I четверти.



, cos

2



, tg

2



, ес ли c o s   0 , 8 , 0   

2



2

Пример 2. Найти sin

.

Решение . Применим формулы половинного аргумента. Угол  находится в I четверти,



следовательно, угол тоже находится в I четверти, поэтому во всех формулах половинного

2

аргумента перед радикалами выбираем знак +.



2





1  c o s 



2

2

1  c o s 



2

1  0 , 8



2



1  0 , 8

9



10



2

1

3 10



10

10

10

10

c o s

,

s i n

,

 1  co s  1  0 , 8 0 , 2 1 1

1,8



t g 

  .



1  0 , 8

9 3

2 1  co s 

Упражнения.

№ 1. Найти значения тригонометрических функций половинного угла по известному значению тригонометрической функций угла  .

 

0 0

   27 0 .

1) Н а йти c o s , t g , ес ли s i n    0 ,8 , 180

2 2

Отв е т: c o s    0 , 2 , t g    1 .

2 2 2

2) Н а йти t g  , ес ли t g   3 , 18 0 0    27 0 0 .

2

Отв е т: t g    1 0  1

2 9

119





 

3) Н а йти s i n , c o s и t g , ес л и c o s  

и 0    .

2

169

2

2 2

Отв е т: s i n   5 , c o s   1 2 , t g   5 .

2 13 2 13 2 12

22

3



 

0

0

4) Найти sin , cos и tg , если cos   и 270    360

4

2

2

2

2 , 14 ,

c os   

tg    7 .

Отв е т: s i n  

2 4

2 4

2

7

4



 

0 0

5) Н а йти s i n , c o s и t g , ес л и s i n    и 1 80    2 70 .

2 2

2

5

0,8, cos    0,2, tg    2

Отв е т: s i n  

2

2

2

№ 2. Доказать тождества:







0

2

2) 1  s i n   2 s i n 2     

1) 1  sin   2 cos 45 

 4 2 



2 









1  c o s  

s i n  

3)  tg

4)  tg

sin  2

1  cos  2

s i n 2  c o s  

6)   tg

1  cos 2  1  cos  2

1  s i n 2    

5)  t g  

 4 

c os 2 





7) tg   ctg   2ctg  2 2

8) s i n   t g   c o s   t g 

2 2

2

9) t g       t g      

 4 2   4 2 

c o s 

 





10. ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ

№

Формула

Название

1.

s i n 2   1  c o s 2 

c o s 2   1  c o s 2 

2.

Формула понижения степени для функции синус

2

2

Формула понижения степени для функции косинус

Упражнения.

Преобразовать в произведение

1) 1  2 c o s   c o s 2 

Отв е т:  4 c o s   s i n 2 

2

1  c o s     

2)

Отв ет: c t g 2   

2

1  c o s     

23