Тригонометрические уравнения

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

УРАВНЕНИЯ

Верно ли, что:

Имеют ли смысл выражения:

Решить уравнение:

Пример 1 . Решить уравнение

2 sin 2 x + sinx - 1 = 0.

Решение.

Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное уравнение примет вид 2 t 2 + t - 1 = 0.

Cледовательно,

sinx = 1/2 или sinx = -1.

1) sinx = 1/2,

2) sinx = -1,

Пример 2 . Решить уравнение

6 sin 2 x + 5 cosx - 2 = 0.

Решение.

Заменяя sin 2 x на 1-с os 2 x , получим квадратное уравнение относительно с osx .

6 ( 1- cos 2 x ) + 5 cosx - 2 = 0,

-6 cos 2 x + 5cosx + 4 = 0,

6 cos 2 x - 5cosx - 4 = 0.

Пусть cos x = t , тогда 6t 2 - 5t - 4 = 0,

t 1 = - 1/2, t 2 = 4/3.

1. " width="640"

Cледовательно, с os x = - 1/2 или cos x = 4/3 .

Решая уравнение с os x = -1/2 , находим:

Уравнение cos x = 4/3 не имеет решений, так как 4 /3 1.

Пример 3 . Решить уравнение

tgx + 2ctgx = 3.

Решение.

Поскольку ctgx =

то уравнение можно записать в виде:

Обозначим tgx через t . Получим уравнение

которое приводится к квадратному t 2 - 3t + 2 = 0,

t 2 - 3t + 2 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета,

t 1 = 2, t 2 =1.

Пример 4. sin 2 4x = 1/4

Решение.

cos 2x =1/2

Х= ± π /6 + π n; n Є Ζ

Пример 5 . 3 sin x +4 cos x =0;

Решение.

Поделим обе части уравнения на cos x ≠ 0.

3 tg x + 4 =0 ;

tg x = -4/3 ;