Тригонометрические уравнения

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждения гимназия № 19 им.Н.З.Поповичевой

г.Липецка

Урок алгебры по теме:

«Простейшие тригонометрические

уравнения»

/10 класс/

Подготовила

учитель математики

Маликова Ольга Георгиевна

Липецк, 2015

Тип урока: изучение нового.

Форма проведения: урок с использованием ИКТ.

Цели: сформировать навык решения простейших тригонометрических уравнений cos t = a, sin t = a; вывести формулы корней и закрепить их применение в ходе решения упражнений.

Учебник: «Алгебра и начала математического анализа/профильный уровень/10 класс/ А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Л.И.Звавич и др.-«Мнемозина», 2012.

Оборудование: мультимедийное оборудование.

Ход урока.

1. Организационный момент (слайд 1)

Здравствуйте, ребята. Сегодняшний урок мне хочется начать словами

пословицы: «Стоя на одном месте, новых горизонтов не откроешь». Будьте сегодня на уроке внимательны и активны.

2. Актуализация знаний (слайд 2)

- Сформулируйте определение arccos a? аrcsin а?

- Чему равен arcсos (-a)? arcsin (-a)?

- Решить устно:

(слайд 3)

№1. Имеет ли смысл выражение:

а) arccos (_{ } - 3); б) arccos (_{ } - 4); в) arcsin (3 - _{ });

г) arcsin (tg_{ }); д) cos(arccos 2); е) arcсos(cos 2).

№2. Вычислите:

а) arcsin (sin _{ }) + arcsin (-_{ });

б) sin (arccos (-_{ })).

(слайд 4)

№3. Решите уравнение:

а) sin х = _{ }; б) cos x = _{ }; в) cos х = 7;

г) 3 sin х = _{ }; д) cos x = _{ } (?)

- В чём затруднение? Можно ли с помощью единичной окружности решить данное уравнение?

- Итак, открыли тетради, записали число, классная работа и тему нашего урока «Простейшие тригонометрические уравнения» (слайд 5)

3. Изучение нового.

(слайд 6)

- Вспомните решение уравнения вида cos t = а с помощью единичной окружности.

- Какие точки на единичной окружности соответствуют числу а? (arсcos a;

-arccos a)

- Как можно записать формулу корней уравнения cos t = a?

(t = arccos a + 2_{ }n, n  Z)

- Рассмотрим частные случаи: cos t = 1, cos t = 0, cos t = -1. (слайд 7)

(слайд 8)

- Вспомните решение уравнения вида sin t = а с помощью единичной окружности.

- Какие точки на единичной окружности соответствуют числу а? (arсsin a;

_{ } - arcsin a)

- Как можно записать формулу корней уравнения sin t = a?

(t = arcsin a + 2_{ }или t = _{ }arcsin a + 2_{ } n  Z)

- Данные корни можно объединить одной формулой:

t = (-1)ⁿarcsin a + _{ }, n  Z (слайд 9)

- Рассмотрим частные случаи: sin t = 1, sin t = 0, sin t = -1. (слайд 10)

4. Закрепление изученного материала.

№1. Решите уравнения(устно): (слайд 11)

а) cos x = _{ } (х =  arccos _{ } + 2_{ },nZ)

б) sin x = _{ } (x = (-1)ⁿ _{ } + _{ }n, nZ)

№2. Решите уравнения (в тетради и на доске): (слайд 12)

в) (2 cos x + 1)(2 sin x - _{ }) = 0 (_{ } + 2_{ }n; (-1)ⁿ _{ } + _{ }, nZ)

г) 2 cos (_{ } (4_{ }, _{ } + 4_{ }, nZ)

№3. Решите уравнения (самостоятельно)

(слайд 13)

а) 2 sin х + _{ } = 0;

б) 6 соs х – 3 = 0;

в) 2 соs х = -_{ };

г) _{ } - _{ } cos х = 0;

д) 2_{ } sin х – 3 = 0.

Выполнить самопроверку (слайд 14)

Для тех, кто закончил работу раньше дополнительное задание: (слайд 15)

Решите уравнение: (_{ } cos x – 1) _{ } = 0.

5. Итог урока.

- Что нового вы узнали сегодня на уроке.

- Какой формулой задаются корни уравнений cos t = a, sin t = a?

(слайд 16): Домашнее задание:

§ 22(п.1-3) № 11(б), 14, 31, 33*(в)(для желающих)

Объяснить переход от формулы (1) к формуле (2) при решении уравнения

sin t = a:

1. t = arcsin a + 2_{ }или t = _{ }arcsin a + 2_{ } n  Z

2. t = (-1)ⁿarcsin a + _{ }, n  Z

И закончить сегодняшний урок мне хочется словами А.Фуше: (слайд 17)

«Уравнение есть равенство, которое ещё не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь».

Всем спасибо и до свидания. (слайд 18)

Список использованной литературы

1. А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала математического анализа

(профильный уровень), 10 класс. Ч. 1 – М: Мнемозина, 2012

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждение гимназия № 19 им.Н.З.Поповичевой

г.Липецка

Урок алгебры в 10 классе по теме:

«Простейшие тригонометрические

уравнения»

Автор: Маликова О.Г.,

учитель математики

«Стоя на одном месте,

новых горизонтов

не откроешь.»

arccos a = t 

Если ǀ аǀ ≤ 1

arcsin a = t 

arccos (-a) = π – arccos a arcsin (-a) = -arcsin a

Имеет ли смысл выражение?

Вычислите:

Решите уравнение:

Ответы:

корней нет

Уравнение cos t = a

1 . Проверить условие | a | ≤ 1

arccos a

y

2 . Отметить точку а на оси абсцисс .

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

a

x

0

-1

1

5 . Полученные точки – решение уравнения cos t = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

-arccos a

Частные случаи уравнения cos t = a

cos t = 1

y

cos t = 0

0

x

0

-1

1

cos t = - 1

8

Уравнение sin t = a

1 . Проверить условие | a | ≤ 1

y

2 . Отметить точку а на оси ординат .

1

3 . Построить перпендикуляр в этой точке .

π -arcsin a

arcsin a

a

4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью .

x

0

5 . Полученные точки – решение уравнения sin t = a.

6 . Записать общее решение уравнения .

[

t =

-1

8

[

Частные случаи уравнения sin t = a

sin t = 1

y

1

sin t = 0

0

x

0

sin t = - 1

-1

11

Решите уравнения:

Сравните:

Решите уравнение :

cos t = a , ǀ а ǀ≤ 1

sin t = a , ǀ а ǀ≤ 1

Решите уравнение :

[

«Уравнение есть равенство, которое ещё не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь.»

А.Фуше

Список использованной литературы

• А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень), 11 класс. Ч. 1 – М: Мнемозина, 2012

Использованные Интернет-ресурсы

• http://www.buklit.ru/covers/76558.jpg
• http://freeshop.am/images/2012/02/23/264606/AKCYA-GOK-JOB-USUMNAKAN-KENTRON-HRAVIRUM-E-HAMAKARGCHAYIN-ANVCHAR-DASNTACNERI_1.jpg