Тригонометрические уравнения

Карточка: «Условная классификация тригонометрических уравнений, методы их решения.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным. . В этих уравнениях все функции выражаются через выбранную тригонометрическую функцию одного аргумента.

Метод решения: введение новой переменной .

1. Уравнения, решаемые разложением на множители.

При разложении на множители используются те же приёмы, что и в алгебре:

а) вынесение общего множителя;

б) способ группировки;

в) использование формул сокращённого умножения.

Способ решения: все члены уравнения перенести в левую часть, преобразовать по мере возможности с применением тригонометрических тождеств, формул приведения, формул сложения тригонометрических функций и т.д.

1. Однородные тригонометрические уравнения 1-ой и 2-ой степени.

-1-ой степени, -2-ой степени.

Метод решения: Если , то решением этих уравнений не могут быть решения уравнений , поэтому , разделив обе части уравнения либо на , либо на , получим равносильные уравнения:

.

1. Уравнения, сводящиеся к однородным.

Метод решения: Используя основное тригонометрическое тождество,представляем , упрощаем и приводим к однородному.

1. Уравнение .

Способы решения:

а) сведение к однородному уравнению:

б) универсальная тригонометрическая подстановка:

в) введение вспомогательного угла: разделим обе части на . Так как , то существует такой угол, что и . Получим уравнение .

6. Уравнения, решаемые понижением степени.

Метод решения: упрощение некоторых тригонометрических уравнений может быть достигнуто с понижения их степени . Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение , чётные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента .

1. Уравнения вида:

Метод решения: делаем замену или

1. Уравнения , содержащие выражения:

Метод решения: выделение полного квадрата.

1. Уравнения, решаемые исследованием области изменения левой и правой части уравнения.

Метод решения: используем ограниченность функций и и переход к системе.

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения» (2 часть)

1 вариант. 2 вариант.

№1. Докажите тождество:

№2. Упростите выражение:

№3. Решите уравнение и найдите корни, принадлежащие заданному промежутку:

№4. Решите уравнение:

№5. Решите уравнение:

Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения» (часть1)

1вариант. 2 вариант.

№1. Вычислите:

№2. Решите уравнения:

№3. Решите уравнения и найдите корни, принадлежащие заданному промежутку.

№4. Решите систему неравенств:

№5. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №1.

1 вариант.

№ 1.Вычислите:

№ 2.Решите уравнения:

2 вариант.

№ 1. Вычислить:

№ 2. Решите уравнения:

Самостоятельная работа №3.

1 вариант. 2 вариант.

№1. Решите уравнение:

№2. Решите уравнение и найдите корни, принадлежащие заданному промежутку.

Самостоятельная работа №4.

1 вариант. 2 вариант.

№1. Решите уравнения:

№2. Решите уравнения и найдите корни, принадлежащие заданному промежутку.

Самостоятельная работа №5

1 вариант. 2 вариант.

Решите уравнение:

Самостоятельная работа№6

1 вариант. 2 вариант.

Решите уравнения:

План- конспект урока: «Решение тригонометрических уравнений».

Автор: Малышева Т.П., учитель математики МБОУ СОШ№3 г.Конаково

Цели урока:

- обобщить и систематизировать материал по данной теме: провести условную классификацию тригонометрических уравнений и методов их решения;

- способствовать формированию умений применять приёмы: сравнения, обобщения, выделения главного, развитию внимания, мышления, памяти;

- содействовать воспитанию интереса к математике, рациональной организации труда.

Задачи урока:

-повторить основные типы тригонометрических уравнений, наиболее типичные приёмы и методы их решения, систематизировать знания по данной теме.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично-поисковый, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка взаимопроверка.

Форма организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Оборудование:

- рабочие тетради, справочный материал (использована классификация уравнений, представленных в книге «Кафедра физики и математики. Инновационные технологии», авторы-составители Т.Г.Попова и др., изд-во»Учитель», Волгоград,2010), компьютер и интерактивная доска, презентация.

План урока:

1. Организационный урок.

2. Систематизация и повторение теоретического материала.

3. Работа по повторению и классификации тригонометрических уравнений.

4. Практическая работа.

5. Проверка уровня усвоения.

6. Подведение итогов урока.

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы урока. Вступительное слово учителю:

Китайская мудрость гласит: «Я слышу- я забываю, я вижу- я запоминаю, я делаю- я усваиваю». Сегодня у нас урок решения тригонометрических уравнений. Мы сегодня повторяем, обобщаем, приводим в систему виды тригонометрических уравнений, приёмы и методы их решения.

Сразу обратим внимание на некоторые обстоятельства, которые надо иметь в виду при решении. Во-первых, все общие правила , относящиеся к решению уравнений, имеют ту же силу. Во-вторых, существует условная классификация тригонометрических уравнений. И в- третьих, какой бы сложности ни было уравнение, в конце концов оно всё равно сведётся с решению простейшего тригонометрического уравнения.

При решении тригонометрических уравнений соблюдать общие правила:

- следить за равносильностью преобразований;

- не допускать потери корней;

- отбрасывать посторонние корни.

И последнее, для тригонометрических уравнений не существует единого метода решения. В каждом конкретном случае успех определяется, в частности знанием тригонометрических формул и навыками решения.

1. Повторение и систематизация знаний.

Цель: обобщить знания по теме.

1. Графический диктант. Учитель диктует предложения. Если ученик согласен, то он ставит знак “ ”, в противном случае- знак “ –“. Таким образом получается цепочка знаков.

1. Ордината точки, лежащей на единичной окружности, называется синусом.

2. Верно ли, что cos 40?

3. Функция y=sin x является нечётной.

4. Область определения функции y=arcsin a есть отрезок .

5. Наименьший положительный период функции y=tg x равен .

6. arccos (- )= .

7. Абсцисса точки, лежащей на единичной окружности, называется косинусом.

8. Область значений функции y= arcos x есть отрезок .

9. Верно ли, что sin

10. arcsin(- ) =

11. Функция y=cos x является чётной.

12. artg (- )= .

Самопроверка .

1. Найдите соответствие между схем ой и уравнением.

Самопроверка.

1. Работа на карточках (на 2 варианта).

Карточка №1.

Записать решение простейших тригонометрических уравнений.

sin x=a sin x=1 sin x=0 sin x=-1 tg x=a

x=……… x=……… x=……….. x=………. x=……..

Карточка №2.

cos x=a cos x=1 cos x=0 cos x=-1 ctg x=a

x=……… x=……… x=……….. x=………. x=……..

После взаимопроверки учащиеся сверяются с ответами на слайде.

1. Найдите ошибки в уравнениях.

Фронтальная работа с классом.

1. Условная классификация тригонометрических уравнений.

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

Работа в группах по 4 человека. У каждой группы имеется таблица с набором уравнений и карточка с условной классификацией тригонометрических уравнений и методами их решения. Определяя тип и метод решения уравнения, учащиеся заполняют таблицу. Затем учащиеся сверяют ответы с правильными на слайде.

Таблица.

Карточка: «Условная классификация тригонометрических уравнений, методы их решения.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным. . В этих уравнениях все функции выражаются через выбранную тригонометрическую функцию одного аргумента.

Метод решения: введение новой переменной .

1. Уравнения, решаемые разложением на множители.

При разложении на множители используются те же приёмы, что и в алгебре:

а) вынесение общего множителя;

б) способ группировки;

в) использование формул сокращённого умножения.

Способ решения: все члены уравнения перенести в левую часть, преобразовать по мере возможности с применением тригонометрических тождеств, формул приведения, формул сложения тригонометрических функций и т.д.

1. Однородные тригонометрические уравнения 1-ой и 2-ой степени.

-1-ой степени, -2-ой степени.

Метод решения: Если , то решением этих уравнений не могут быть решения уравнений , поэтому , разделив обе части уравнения либо на , либо на , получим равносильные уравнения:

.

1. Уравнения, сводящиеся к однородным.

Метод решения: Используя основное тригонометрическое тождество,представляем , упрощаем и приводим к однородному.

1. Уравнение .

Способы решения:

а) сведение к однородному уравнению:

б) универсальная тригонометрическая подстановка:

в) введение вспомогательного угла: разделим обе части на . Так как , то существует такой угол, что и . Получим уравнение .

6. Уравнения, решаемые понижением степени.

Метод решения: упрощение некоторых тригонометрических уравнений может быть достигнуто с понижения их степени . Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение , чётные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента .

1. Уравнения вида:

Метод решения: делаем замену или

1. Уравнения , содержащие выражения:

Метод решения: выделение полного квадрата.

1. Уравнения, решаемые исследованием области изменения левой и правой части уравнения.

Метод решения: используем ограниченность функций и и переход к системе.

1. Практическая работа. После проверки заполненной таблицы учащиеся решают предложенные уравнения. Индивидуальная работа. После решения учащиеся в таблице в графе «уровень сложности» помечают те уравнения, которые вызвали наибольшие затруднения.

2. Проверка решений осуществляется с помощью соответствующих слайдов.

3. Подведение итогов урока.

4. Домашнее задание.

Задачник для 10 класса «Алгебра и начала математического анализа» (2009) под редакцией А.Г.Мордковича.

№ 31.5а, №31.6а, 31.18а,31.21а,30.17а

Карточка №1.

sin x=a

sin x=1

sin x=0

sin x=-1

tg x=a

Карточка №2.

cos x=a

cos x=1

cos x=0

cos x=-1

ctg x=a