Цилиндр, конус, шар

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОФИЛЬНЫХ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ КЛАССАХ Выполнили: Поладова М.Г.

2

2

3

3

Сравнительный анализ изученной литературы:

1) геометрия 7-9 класс. Автор-А.В.Погорелов. 2008г. 9-е издание;

2)геометрия 10-11 класс. Автор-А.В.Погорелов. 2007г. 7-е издание;

3)геометрия 7-9 класс. Автор-Л.С.Атанасян и др. 2013г. издание;

4)геометрия 10-11 класс. Автор-Л.С.Атанасян и др. 2011г. 20-е издание;

5) геометрия 7-9 класс. Автор-А.Д. Александров и др. 2003г. 3-е издание;

6) геометрия 10-11 класс. Автор-А.Д. Александров и др. 2003г. 3-е издание;

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

5

Примером могут быть такие объекты как шар, конус, цилиндр и т.д. Все эти фигуры уже есть среди стандартных объектов, но к телам вращения так же относятся более сложные объекты такие как тарелки, бутылки, кружки, стаканы, рюмки и др.

5

ВИДЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Цилиндр-тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси

Конус-тело, которое получено при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси

Шар-тело полученное при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИЛИНДРА

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки,соединяющие соответствующие точки окружностей кругов,образующими цилиндра.

5

Основные элементы цилиндра

Прямой круговой цилиндр- это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон

Сторона прямоугольника, вокруг которой производилось вращение, называется осью цилиндра

Стороны прямоугольника, примыкающие к оси, описывают при вращении два равных круга- основания цилиндра

Радиус основания является радиусом цилиндра

Любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра

Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой

5

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА

Сечение цилиндра плоскостью,параллельной его оси,представляет прямоугольник.

Осевое сечение-сечение цилиндра плоскостью,проходящей через его ось

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, представляет собой круг.

5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНУСА

Конусом называется тело,которое состоит из круга-основания конуса,точки, не лежащей в плоскости этого круга,вершины конуса и всех отрезков,соединяющих вершину конуса с точками основания.

5

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом.

Ось конуса

Вершина конуса

А

Образующая конуса

Высота конуса

Боковая поверхность конуса

O

Основание конуса

С

Радиус основания конуса

37

37

Конус может быть получен путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

А

В

С

38

38

Конус может быть получен путем вращения равнобедренного треугольника вокруг его высоты, опущенной на основание.

А

l

В

С

39

39

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Сечение конуса плоскостью,проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основаниям, представляет собой круг с центром на оси конуса.

39

Определение шара

Содержание

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от заданной точки точки.

Эта точка называется центром шара.

Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара

Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.

Сфера – это поверхность все точки которой равноудалены от заданной точки.

41

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

41

СЕЧЕНИЯ ШАРА

Сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого шара есть основание перпендикуляра,опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом.

41

Площадь поверхности цилиндра

41

Содержание

Площадь поверхности конуса

Полная поверхность состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь основания находим как площадь круга

l

l

S =  R 2

R – радиус основания цилиндра

2  R

R

R

Боковая поверхность конуса есть …

сектор.

Площадь боковой поверхности вычисляется как площадь сектора радиус которого равен длине образующей конуса ( l ), а дуга равна длине окружности основания ( 2  R ) . Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число  .

Получаем, S полн = S бок + S осн =  Rl +  R 2

Подробнее о площади сектора

S полн =  R(l + R)

45

Площадь поверхности шара

45

45

Площадь поверхности шара, формула

R - радиус сферы

π ≈ 3.14

Формула площади поверхности шара (S):

45

ОБЪЁМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

фигура

формула

правило

цилиндр

конус

V=1/3 * S*H

V=S*H

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

шар

V=4/3* П *R 3

Объём шара Теорема. Объём шара радиуса R равен .

Задачи

Найти объем шара

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь по­верхности первого шара больше площади поверхности второго?

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Правильная треугольная призма   ABCA 1 B 1 C 1  описана около шара радиуса  R . Точки  M  и  N  —середины рёбер  BB 1  и  CC 1 .В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости  AMN . Найдите объём цилиндра

Представление объема интегралом

Пусть простая фигура Т лежит между параллельными опорными плоскостями а и а , а а(х) — плоскость, лежащая между ними и удаленная на расстояние х от а. Тогда если S(х) — площадь сечения Q(х) фигуры Т плоскостью а(х), то объем V(T) фигуры Т выражается формулой

H

V(T) = ∫ S ( х) d х

0

Где H — расстояние между а и а