У-2 Аксиома параллельных прямых

Тема: «Аксиома параллельных прямых» (2‑й урок по теме)

Продолжительность: 40 мин
Цель: закрепить понимание аксиомы параллельных прямых, отработать применение её следствий при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент (2 мин)

• Приветствие.

• Проверка готовности класса.

• Объявление темы и цели урока.

2. Актуализация знаний (8 мин)

Фронтальный опрос:

1. Что такое аксиома? Приведите примеры известных аксиом.

2. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

3. Назовите два следствия из аксиомы параллельных прямых:

   • Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то…

   • Если две прямые параллельны третьей, то…

4. Почему эти утверждения называются следствиями?

• Подчёркиваем, что аксиома не требует доказательства — это исходное положение.

• Следствия доказываются на основе аксиомы (метод «от противного»).

3. Повторение доказательств следствий (10 мин)

Работа у доски и в тетрадях:

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство (метод «от противного»):

1. Дано: a∥b, прямая c пересекает a в точке M.

2. Предположим, что c не пересекает b. Тогда через точку M проходят две прямые (a и c), параллельные b.

3. Это противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку вне прямой 

проходит только одна параллельная).

1. Значит, предположение неверно: c пересекает b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Доказательство (метод «от противного»):

1. Дано: a∥c, b∥c.

2. Предположим, что a и b пересекаются в точке M.

3. Тогда через M проходят две прямые (a и b), параллельные c.

4. Это противоречит аксиоме.

5. Значит, a∥b.

4. Решение задач (15 мин)

Задача 1 (устно, фронтально).
Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне AC, можно провести через вершину B?
Ответ: одну (по аксиоме параллельных прямых).

Задача 2 (письменно, у доски).
Через точку A, не лежащую на прямой p, проведены 4 прямые. Сколько из них могут пересекать p? Рассмотрите все случаи.
Решение:

• Случай 1. Одна из прямых параллельна p. Тогда остальные 3 пересекают p (по следствию 1).

• Случай 2. Ни одна из прямых не параллельна p. Тогда все 4 пересекают p.
  Ответ: 3 или 4.

Задача 3 (самостоятельно, с проверкой).
Прямые a и b параллельны. Прямая c пересекает a. Пересекает ли c прямую b? Обоснуйте ответ.
Ответ: да, по следствию 1.

Задача 4 
Даны три прямые: a∥b, b∥c. Докажите, что a∥c.
Указание: используйте следствие 2.

Из учебника № 218

5. Подведение итогов (3 мин)

Вопросы для рефлексии:

• Что нового вы узнали на уроке?

• Какое следствие аксиомы параллельных прямых кажется вам наиболее важным? 

Почему?

• В каких задачах можно применять аксиому и её следствия?

6. Домашнее задание (2 мин)

п. 28 № 219