Учебное пособие "Случайные события и их вероятности"

С 2012 года в ОГЭ и ЕГЭ вошли задания по теории вероятности. Изначально это были простейшие задачи на классическое определение вероятности, в которых рассматривались опыты с равновозможными элементарными исходами. Но в дальнейшем стали появляться задачи с более сложными схемами решения. Поскольку спектр задач расширился, то возникла потребность в данных методических рекомендациях.

Введение

Опр. Элементарные события (элементарные исходы) опыта – это простейшие события, которыми может окончиться опыт.

В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов. То есть, с одной стороны, не могут произойти сразу два исхода, а с другой – эксперимент не может завершиться вообще без какого-либо исхода.

Опр. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других (не могут происходить одновременно).

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Опр. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Опр. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием. Достоверному событию соответствует множество всех исходов опыта Ω.

Опр. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием. Невозможному событию соответствует пустое множество исходов .

Опр. Вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.

Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Сумма вероятностей всех элементарных исходов опыта равна 1.

Опр. События называются равновероятными (равновозможными), если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Опр. Событие , состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А, называется противоположным событию А. Вероятности противоположных событий связаны равенством:

.

Опр. Объединением событий АВ – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В.

Опр. Пересечение событий АВ – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

Классическая вероятностная схема

Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует:

1. Определить, что является элементарным событием (исходом) в данном случайном эксперименте (опыте).

2. Найти общее число элементарных событий N.

3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(A). (Событие можно обозначить любой буквой.)

4. Найти вероятность события А по формуле .

Задание 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Леша.

Решение: Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечисляем их:

(Вася), (Петя), (Коля), (Леша)

Общее число элементарных исходов N равно 4.

Событию А={жребий пал на Лешу} благоприятствует только одно элементарное событие (Леша). Поэтому N(A)=1. Тогда

Ответ: 0,25.

Задание 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 1 раз.

Решение: Орел обозначим буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие равновозможные элементарные исходы:

ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4.

Событию А = {выпала ровно одна решка} благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A)=2. Тогда

Ответ: 0,5.

Задание 3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.

Решение: Элементарный исход в этом опыте – пара чисел. Первое число выпадает на первой кости, а второе – на второй. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N=6²=36.

Поставим * в ячейках, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, событию А = {сумма очков равна 6} благоприятствует 5 элементарных исходов, т.е N(A)=5. Поэтому,

Ответ: .

Задание 4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Для начала подсчитаем общее количество возможных комбинаций, которые могут выпасть. Согласно условию задачи дано 3 игральные кости, каждая из них имеет 6 граней, поэтому число всех комбинаций равно: 6³= 216.

Теперь нужно подсчитать количество комбинаций, в которых выпадет ровно 7 очков. Перечислим их: 115, 124, 133, 142, 151,

214, 223, 232, 241,

313, 322, 331,

412, 421,

511.

Всего таких комбинаций получилось 15.

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения одной из этих комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих исходов на количество всех возможных исходов:

P = = 0.0694444... ≈ 0.07.

Ответ: 0,07.

Задание 5. Аня и Яна играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Аня выкинула 3 очка. Затем кубик бросает Яна. Найти вероятность того, что Яна выиграет.

Решение:

Чтобы проще было найти благоприятное и общее число исходов составим таблицу

Общее число исходов 6, а число благоприятных исходов – 3.

Тогда Р=3/6=0,5.

Ответ: 0,5.

В следующих задачах явно выписывать все элементарные исходы сложно, но достаточно легко подсчитать их количество.

Задание 6. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт 
в магазин?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности. Всего туристов 8, случайным образом из них выбирают 6. Вероятность быть выбранным равна .

Ответ: 0,75.

Задание 7. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение:

На пер­вом рейсе 15 мест, всего мест 300. Тогда ве­ро­ят­ность того, что ту­рист В. по­ле­тит первым рей­сом вертолёта, равна: Р=15/300=0,05.

Ответ: 0,05.

Задание 8. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение:

Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 4x, а всего 5x. Значит, вероятность того, что слу­чай­но выбранный пакетик ока­жет­ся пакетиком с зелёным чаем равно  

Ответ: 0,2.

Задание 9. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение:

В кармане было 5 конфет, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события .

Ответ: 0,2.

 Задание 10.. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение:

Воспользуемся геометрическим определением вероятности. На циферблате между 7 и 1 часами расположено 6 деления. Всего делений 12
вероятность Р=6/12=1/2=0,5.

Ответ: 0,5.

Задание 11. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найти вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение: Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N=1000.

Событию А = {аккумулятор исправлен} благоприятствует 1000 - 7=993 исхода. Поэтому N(A)=993. Тогда

Ответ: 0,993.

Задание 12. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всего сумок 100+3=103.  Благоприятное число ка­че­ствен­ных сумок – 100. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна
Р=100/103≈0,97.

Ответ: 0,97.

Задание 13. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе и Максим Зайцев. Найти вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом их России.

Решение: Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16-1=15 равновероятных исходов. Благоприятный исход – соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 – 1 =6 ( из числа россиян исключаем самого Максима). Искомая вероятность равна

Ответ: 0,4.

Задание 14. В группе иностранных туристов 51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности. Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.

Решение: В каждой подгруппе 17 человек. Присвоим французам номера – первый и второй. Будем считать, что первый француз уже занял место в какой-то подгруппе (назовем ее подгруппа А). Нужно найти вероятность того, что второй француз оказался в той же подгруппе А.

Для второго француза остается N=50 мест, из них в подгруппе А N(A)=16 мест. Размещение туристов, по условию, случайно, значит, комбинации равновозможны. Поэтому вероятность того, что второй турист попадет в подгруппу А, равна

Ответ: 0,32.

Задание 15. В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.

Решение:

Воспользуемся заданием 13. Найдем сначала вероятность того, что они окажутся в одной группе. . Тогда вероятность того, что они окажутся в разных группах равна Р=1-0,48=0,52.

Ответ; 0,52.

Задание 16. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 82 до 96 делится на 6?

Решение: Общее число элементарных исходов N=15 (количество чисел от 82 до 96). Событию А={выбранное число делится на 6} благоприятствует N(A)=3 исхода (84, 90, 96). Тогда

Ответ: 0,2.

Задание 17. На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 2 из Испании и 6 из Италии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найти вероятность того, что одиннадцатым окажется доклад ученного из Италии.

Решение: Задачи данного типа можно решить по формуле Баесса, но достаточно принять равновозможным порядок докладов и тогда вероятность не будет зависеть от того кто в какой день делает доклад.

Общее число исходов N=12. Число исходов N(A), благоприятствующих событию А={доклад ученного из Италии} равно 6.

Тогда

Ответ: 0,5.

Задание 18. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов – первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьими и четвертым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:

Сначала найдем, сколько докладов запланировано на последний день. На первые два дня запланировано 12·2=24 докладов. Остаются еще 40-24=16 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано 16:2=8 докладов

Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора М. Всего таких равновозможных исходов 40. Благоприятствуют указанному событию 8 исходов ( последние 8 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна

Ответ: 0,2.

Задание 19. На борту самолета 19 кресел расположены рядом с запасными выходами и 13 – за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир Л. Высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайной выборе места пассажиру Л. достанется удобное место, если всего в самолете 400 мест.

Решение:

Тогда

Ответ: 0,08.

Задание 20. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Решение:

Ответ: 0,2.

Задание 21. Вероятность того что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает одну новую ручку. Найти вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Определим событие:

А={выбранная ручка пишет хорошо}.

Известна вероятность противоположного события:

Используя формулу вероятности противоположного события:

P(A)=1-=1-0,05=0,95.

Ответ: 0,95.

Задание 22.. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше.

Решение:

Вероятность того, что у человека есть хоть какая-то температура равна 1.
Тогда вероятность того, что температура человека будет 36,8 или выше будет разница между 1 и 0,94. Р=1-0,94=0,06.

Ответ 0,06.

Задание 23. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.

Решение:

Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Биологом», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций одна: 111, а всего комбинаций 2³ = 8 (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,125.

Задание 24. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.

Решение:

Обозначим через «1» случай, когда команда «Сапфир» начнет игру с мячом, и через «0» – противоположное событие. Тогда для команды в трёх матчах возможно 2³= 8 различных исходов: 000, 001, 010, 100, 101, 110, 011, 111.  Среди восьми исходов условию задачи удовлетворяют только четыре, а именно 000, 001, 010, 100. Значит, искомая вероятность равна Р=4/8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задание 25. Перед началом волейбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Байкал» по очереди играет с командами «Амур», «Енисей», «Вилюй» и «Иртыш». Найти вероятность того, что ровно в двух матчах право владеть мячом выиграет команда «Байкал».

Решение: Пусть 1 – команда «Байкал» владеет мячом первая, 0 – не владеет мячом. Первая комбинация во всех играх 1111, т.е во всех играх «Байкал» первый. Вторая комбинация 1110, т.е «Байкал» в первых трех играх первый.

Итого:

Всего исходов – 2⁴ =16, из них благоприятных – 6.

Вероятность данного события

Ответ: 0,375.

Задание 26. В чемпионате мира участвуют 16 команд, включая команду из России. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?

Решение:

Общее число исходов равно числу карточек – их 16. Благоприятных исходов 4 (так как номер 3 написан на четырех карточках). Искомая вероятность равна

Ответ: 0,25.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Задание 27. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к двум темам, нет. Найти вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. События А= {вопрос на тему «Тригонометрия»} и В={ вопрос на тему «Внешние углы»} несовместны. Тогда P(A+B)=P(A)+P(B)=0,1+0,15=0,25.

Ответ: 0,25.

Задание 28. Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найти вероятность того, кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

1 способ

Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофемолка. Она может сломаться уже на первом году работы, может сломаться на втором году работы, а может проработать более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следующую таблицу:

Так как вероятность события «кофемолка прослужит больше года» равна 0,93, то вероятность противоположного события «кофемолка сломалась на первом году» равна 1-0,93=0,07. Вероятность события «кофемолка сломалась после первых двух лет работы» по условию задачи равна 0,81. Вносим данные в таблицу:

В таблице перечислены три несовместных события, одно из которых обязательно произойдет. Поэтому сумма вероятностей в таблице должна быть равна 1. Следовательно, незаполненное искомое значение можно вычислить как 1 – 0, 07 – 0,81 = 0,12.

Ответ: 0,12.

2 способ.

Обозначим через А событие «кофемолка прослужит больше года, но меньше двух лет», через В событие «кофемолка прослужит больше двух лет». Событие А и В несовместны (кофемолка не может прослужить меньше двух лет и одновременно больше двух лет). Объединением событий А и В является событие АВ «кофемолка прослужит больше года». По условию Р(АВ) = 0,93, Р(В)= 0,81. Так как А и В несовместны, то Р(АВ) = Р(А)+Р(В), откуда Р(А)=Р(АВ) - Р(В) = 0,93 – 0,81=0,12.

Ответ: 0,12.

Задание 29. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,83. Вероятность того, что окажется меньше 11 пассажиров, равна 0,64. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 11 до 17.

Решение:

Найдем вероятность, применив 2 способ из предыдущей задачи.

А – «число пассажиров будет от 11 до 17», В – «число пассажиров будет меньше 11». Тогда АВ – «число пассажиров меньше 18».

Следовательно, Р(А)=Р(АВ) - Р(В) = 0,83 – 0,64=0,19.

Ответ: 0,19.

Задание 30. Найти вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 2 или 5.

Решение: События А= {выпадет 2} и В={ выпадет 5} несовместны. Поскольку Р(А)= и Р(В)=, тогда P(A+B)=P(A)+P(B)=.

Ответ: .

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P(A+B)=P(A)+P(B) – Р(АВ).

Задание 31. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решeние: 1 способ

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12 .

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

2 способ

Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,12. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,3, поэтому сумма чисел с верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,3. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,3-0,12=0,18.

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,3, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,3. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,3-0,12=0,18.

Так как сумма чисел во всех четырех ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1-0,12- 0,18-0,18=0,52.

Ответ: 0,52.

Опр. События А и В называются независимыми, если появления одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Теорема умножения для независимых событий. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Задание 32. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Обозначим события: W={А. выиграл белыми}, В={А. выиграл черными}. По условию задачи P(W)=0,5, P(B)=0,32. Необходимо найти вероятность пересечения событий W и В, то есть ). События W и В независимы (результат одной партии не зависит от результата другой), поэтому

Ответ: 0,16.

Задание 33. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлить до сотых.

Решение. В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события {попал при первом выстреле}, {попал при втором выстреле} и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность каждого промаха равна 1 – 0,8=0,2. Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что событие А={попал; попал; попал; промахнулся; промахнулся} имеет вероятность

Ответ: 0,02.

Задание 34. На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Решение:

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна

Ответ: 0,0625.

Формула полной вероятности

Теорема. Вероятность событии А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

, (*)

где .

Равенство (*) называют формулой полной вероятности.

Задание 35. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 5% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найти вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение. Событие А={купленное стекло окажется бракованным}. Гипотезы Н₁={стекло с первой фабрики}, Н₂={стекло со второй фабрики} образуют полную группу поскольку для Р(Н₁)=0,45 и Р(Н₂)=0,55 суммарная вероятность равна 1.

Условные вероятности , Тогда

А={купленное стекло окажется бракованным}

Стекло откуда? (Гипотезы)

1 фабрика ИЛИ 2 фабрика

Р(Н₁)=0,45 Р(Н₂)=0,55

И * + И *

Ответ: 0,039.

Задание 36. В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Событие А={мишень будет поражена}. Гипотезы Н₁={винтовка с оптическим прицелом}, Н₂={ винтовка без оптического прицела} образуют полную группу поскольку для Р(Н₁)= и Р(Н₂)= суммарная вероятность равна 1.

Условные вероятности , Тогда

А={мишень будет поражена}

Винтовка какая? (Гипотезы)

винтовкой с оптическим прицелом ИЛИ винтовкой без оптического прицела

Р(Н₁)= Р(Н₂)=

И * + И *

Ответ: 0,85.

Задание 37. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система заблокирует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение:

Событие А={случайно выбранная батарейка забракована системой контроля}. Гипотезы Н₁={готовая батарейка неисправна}, Н₂={ готовая батарейка исправна} образуют полную группу поскольку для Р(Н₁)=0,05 и Р(Н₂)=0,95, суммарная вероятность равна 1.

Условные вероятности , Тогда

А={случайно выбранная батарейка забракована системой контроля}.

Батарейка какая? (Гипотезы)

готовая батарейка неисправна ИЛИ готовая батарейка исправна

Р(Н₁)=0, 05 Р(Н₂)=0,95

И * + И *

Ответ: 0,0575.

Задание 38. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ крови выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,03. Известно, что 43% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найти вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:

Событие А={Результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным}. Гипотезы Н₁={ пациент действительно болен гепатитом}, Н₂={ пациент не болен} образуют полную группу поскольку для Р(Н₁)=0,43 и Р(Н₂)=0,57, суммарная вероятность равна 1.

Условные вероятности , Тогда

Ответ: 0,3611.

Формула Бернулли

Пусть рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0pk раз (безразлично в какой последовательности), равна

,

где – число сочетаний.

Задание 39. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9. Он стреляет пять раз. Найти вероятность того, что он:

А) попадет все пять раз;

В) попадет ровно один раз;

С) не попадет в мишень ни одного раза.

Решение.

А) Согласно формуле Бернулли при k=5 и q=0,1 имеем:

В) При k=1 имеем

С) При k=0 имеем

Ответ: 0,59049; 0,00045; 0,00001.

Список литературы

1. А.Г. Мордкович. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: доп. Параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 6-е изд. М.: Мнемозина, 2009. – 112 с.: ил.

2. Математика. Методический журнал для учителей математики. Издательский дом «Первое сентября», январь 2012.

3. Е.А. Бунимирович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы. 1-4 лекции. М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2011. – 128 с.

4. Е.А. Бунимирович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика 5-9 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб. Заведений. – М.: Дрофа, 2002. – 160 с.: ил.