Удвоенная медиана

Геометрия 8 класс Тема: Удвоение медианы .

• Автор презентации:
• Голощапова Валентина Степановна

Сегодня мы познакомимся с методом удвоения медианы.

ВСПОМНИ!

• Что называют трапецией?

Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией .

• Что называют основанием трапеции, а какие стороны называют боковыми?

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные стороны – боковыми сторонами.

• Какую трапецию называют прямоугольной?

Если один из углов трапеции прямой, то она называется прямоугольной.

• Какую трапецию называют равнобокой?

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией (равнобокой).

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM.

В

А М С

Удвоим эту медиану, т.е. проведем отрезок MD: MD=BM.

В

А М С

D

Получили параллелограмм ABCD (по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам).

В

А М С

D

В ряде задач с этим параллелограммом очень удобно работать.

ABCD – ромб = AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Что и требовалось доказать. " width="640"

Теорема: Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

В

А М С

D

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC, в котором проведена медиана BM, которая совпадает с высотой. Продлим медиану: MD=BM. Четырехугольник ABCD – параллелограмм (AM=MC, т.к. BM – медиана, BM=MD (по построению)).

С другой стороны, у него перпендикулярны диагонали. = ABCD – ромб = AB=BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Теорема: Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине его гипотенузы.

В

А M С

D

Доказательство:

Удвоив медиану ВМ, продлив её за точку М. АВСD – параллелограмм (по признаку).

C другой стороны, в этом параллелограмме , следовательно АВСD – прямоугольник. Значит СМ = АМ = ВМ = МD. АМ = АС.

Решим задачу 1: Дан треугольник ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC=16, а медиана AM=5. Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

При удвоении медианы получаем точку D: AD=2AM=10.

Получили параллелограмм BACD, в котором нам известны стороны AB=CD=10, AC=BD=16.

Продолжение решения задачи 1

Рассмотрим треугольник BAD. В этом треугольнике мы знаем все 3 стороны: 10, 10, 16.

Получился равнобедренный треугольник.

Проведём высоту АН. По теореме Пифагора АН = 36.

S BAD = · BD · AH = · 16 · 6 = 48.

S ABCD = · S ABD = · S ABC S ABC = S ABD = 48.

Cделаем вывод:

Если в задаче дана медиана, то очень часто полезно ее удвоить, чтобы свести задачу к параллелограмму, ромбу или прямоугольнику, с помощью чего можно решать ряд задач.

Задачи для классной работы:

1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника.

2. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.

3. В треугольнике ABC проведена медиана BM . Найдите BC, если BAC = 30°, а BMC =45°.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина стороны AD.

Домашнее задание

• Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к ней, равна 1 см, а один из углов треугольника равен 15º.
• Известно, что BMC = 90◦. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Использованные источники:

• https://multiurok.ru/files/praktichieskaia-rabota-po-tiemie-tsientral-naia-i-.html

• https://yandex.ru/video/preview/10270951172070887587
• https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-geometrii-za-79-klassy/udvoenie-mediany
• https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya
• https://drive.google.com/drive/folders/1xIzzlOUxFTs7161-IwoKiUdl5R9fsECT