Угол между прямыми в пространстве 1

Угол между прямыми в пространстве

Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Две прямые называются перпендикулярными , если угол между ними прямой.

Упражнение 1

Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 2

Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 3

Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Нет.

Куб 1

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми A 1 C 1 и B 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Куб 2

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми AA 1 и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Куб 3

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми AA 1 и CD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Куб 4

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми AA 1 и B 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Куб 5

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми AA 1 и C 1 D 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Куб 5

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AA 1 и BC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 45 o .

Куб 6

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AA 1 и CD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 45 o .

Куб 7

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AB 1 и BC 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Через точку A проведем прямую AD 1 , параллельную BC 1 . Искомый угол равен углу B 1 AD 1 . Треугольник B 1 AD 1 – равносторонний. Следовательно, искомый угол равен 60 о .

Ответ: 60 о .

12

Куб 8

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AB 1 и DA 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 60 o .

12

Куб 9

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AB 1 и A 1 C 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 60 o .

Куб 10

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми AB 1 и CD 1 .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD найдите у гол между прямыми AD и BD .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6 0 o .

Пирамида 2

В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины ребер BC и CD . Н айдите у гол между прямыми AD и EF .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6 0 o .

Пирамида 3

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB . Н айдите косинус угла между прямыми AD и C E .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Через точку E проведем прямую EF , параллельную AD . Искомым углом будет угол CEF . В треугольнике CEF имеем

EF = , CE = CF = Следовательно,

Ответ:

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите у гол между прямыми SA и SB .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6 0 о .

Пирамида 5

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AB и SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6 0 o .

Пирамида 6

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите у гол между прямыми SA и SC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC = . Следовательно, искомый угол равен 90 о .

Ответ: 90 о .

Пирамида 7

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC . Н айдите у гол между прямыми AD и BE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение. Искомый угол равен углу CBE . Он равен 30 о .

Ответ: 30 о .

Пирамида 8

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите у гол между прямыми SA и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Решение: Искомый угол равен углу SAD . Треугольник SAD – равносторонний, следовательно, = 60 о .

Ответ: 60 о .

Пирамида 9

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите косинус угла между прямыми SA и DE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

24

Пирамида 10

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, н айдите косинус угла между прямыми SA и BE .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ:

25

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC .

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 90 o .

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ: 45 o .

Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1 .

Ответ: 60 o .

Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A 1 C .

Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C . В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна . Следовательно,

Призма 5

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AA 1 и B 1 C 1 .

Ответ: 90 o .

Призма 6

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AA 1 и BC 1 .

Ответ: 45 o .

Призма 7

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AA 1 и DE 1 .

Ответ: 45 o .

Призма 8

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AB 1 и DE 1 .

Ответ: 90 o .

Призма 9

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AB и B 1 C 1 .

Ответ: 6 0 o .

Призма 10

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми AB и C 1 D 1 .

Ответ: 6 0 o .