Уравнения Бернулли

Тема: Уравнение Бернулли

Теоретическая часть

Уравнение вида

y’ + p(x)y = q(x)yⁿ, (*)

где n≠0 и n≠1 называется уравнением Бернулли.

Разделим обе части уравнения y’ + p(x)y = q(x)yⁿ на yⁿ, получим:

y^-ny’ + p(x)y^-n+1 = q(x) (**).

Обозначим: y^-n+1 = z. Тогда z’ = (-n + 1)y^-ny’. Отсюда находим y^-ny’ = . Уравнение (**) примет вид:

.

Последнее уравнение является линейным относительно z, решение его известно.

Пример 1: Найти решение задачи Коши
, 

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на y² :

Проведем замену: 

Получено линейное неоднородное уравнение, решением которого является функция

Обратная замена:

   
Общее решение:

 
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид: 

Пример 2: Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию :

,

Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.


Проведем замену: 

Получено линейное неоднородное уравнение, решение которого является функция

Обратная замена:

 
Общее решение:

 
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид: 

Задачи для самостоятельного решения

1. y’ + y = xy²

2. y’ – y = xy²

3. y’ + 2y = xy³

4. y’ – 2y = xy³

5. y’ + y = x

6. y’ – y = - x

7. y’ + y = x²y²

8. y’ – y = x²y²

9. y’ + 2y = x²y²

10. y’ - 2y = x²y²

11. y’ + y = 2xy³

12. y’ - y = 2xy³

13. y’ + 2y = 2xy²

14. y’ - 2y = xy²

15. y’ - = xy²

16. y’ - = y²

17. y’ + = y²

18. y’ - = y²

19. y’ + = y²

20. y’ - 3y = xy³

21. y’ + 3y = xy²

22. y’ + 3y =

23. y’ + 2y = y²e^x

24. y’ – 2y = y²e^-x

25. y’ + 2y = y²e^-2x

Дополнительные задания

1. , y(0) = -1

2. y’ + y = 3e^-2x y², y(0) = 1

3. , y(0) = 1

4. y’ + y·ctgx = y⁴sinx,

5. 2y’ – 3y·cosx = -e^-2x(2 + 3cosx)y^-1, y(0) = 1