В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 18.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 19.03.2025 19:34

Живогляд Дарья Владимировна

Учитель математики

17 033

1 921

Подписчики

Подписки

Местоположение

Россия, Симферополь

Специализация

Математика

Классному руководителю

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Уравнения и неравенства с модулями

Категория: Алгебра

16.04.2020 09:59

Урок №6. СКАЧИВАЙТЕ файл на устройства, чтобы все знаки и формулы были видны и распознаны. Во время чтения файла онлайн происходит потеря формул.

Просмотр содержимого документа
«Уравнения и неравенства с модулями»

Дата

Тема урока: УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

Цели: закрепить умения решать различные уравнения и неравенства, содержащие модуль.

Ход урока

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Подготовка к ЕГЭ. Выполните устно предложенные задания.

Решите неравенство:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Откройте тетради и запишите сегодняшнее число и тему урока. Начинаем подготавливаться к контрольной работе. Сегодня повторим, как решать уравнения и неравенства с модулем.

№1. Решить уравнение .

Выполним замену:

Получим и решим квадратное уравнение:

Тогда исходное уравнение будет эквивалентно совокупности уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к. . Решаем первое по свойству модуля:

Ответ: .

№2. Решить иррациональное уравнение .

Заметим, что под знаками корня находятся выражения, которые можно свернуть по формулам сокращенного выражения:

Тогда перепишем исходное уравнение в виде:

Приравняем подмодульные выражения к нулю, получим х₁=1 и х₂= -1. Эти точки разбивают всю числовую прямую на три интервала:

. Нужно узнать, с какими знаками (+ или - ) раскроются модули. Выполнив подстановку любого числа из интервала, получим:

Тогда получим уравнение:

Но не принадлежит , а значит, не является корнем исходного уравнения.

. На этом интервале модули раскроются следующим образом:

Получим уравнение:

. Проверим как раскроются модули на этом интервале:

Получим уравнение:

Теперь необходимо объединить между собой решения на каждом из трех этапов, при этом на первом решений не было, только на втором и третьем. Получим:

Ответ: .

№3. Решить уравнение .

Рассмотрим знаменатель, он не должен быть равен нулю. Перепишем его с помощью формулы сокращенного умножения в виде . Это наше ОДЗ.

Преобразуем уравнение и сократим на скобку (х-3), получим:

Распишем его по свойству модуля в виде совокупности двух уравнений

Раскроем как пропорцию, получим:

Оба этих корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба идут в ответ.

Ответ: 2; 4.

№4. Решить неравенство .

Распишем его как двойное неравенство с помощью равносильности:

Решить двойное неравенство – значит найти решение соответствующей ей системе неравенств. Она выглядит следующим образом:

Решим первое неравенство .

Решим это неравенство методом интервалов:

Решением первого неравенства является .

Решим теперь второе неравенство .

Решим это неравенство методом интервалов:

Решением второго неравенства является .

Но это решения каждого из неравенств отдельно, а у нас по условию система. Следовательно, на общую координатную прямую необходимо нанести решения каждого из них и найти пересечение полученных множеств:

Ответ: .