Уравнения и системы уравнений. Иррациональные уравнения.

Уравнения и системы уравнений.

Иррациональные уравнения

    Уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня n-ой степени, называется иррациональным.
    Иррациональное уравнение чаще всего решается путём возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестную, или заменой неизвестной. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.
    При возведении в нечётную степень обеих частей уравнения, получаем уравнение, равносильное исходному.
    Новое уравнение, получившееся после возведения в чётную степень обеих частей, не всегда равносильно исходному уравнению, поэтому необходимо либо выполнить проверку полученных значений неизвестного путём подстановки в исходное уравнение, либо отбросить корни, не принадлежащие области определения уравнения.

Пример 15. Решить уравнение  .
    Решение:
        Область определения: х + 1 ≥ 0.
        x² – 4 = 0 или х + 1 = 0;
        х₁ = – 2 , х₃ = – 1. 
        х₂ = 2,
        х₁ = – 2 не принадлежит области определения.
    Ответ: – 1; 2

Пример 16. Решить уравнение  .
    Решение:
        Данное уравнение решается возведением в квадрат левой и правой частей, и, так как в правой части уравнения содержится переменная, мы получим уравнение не равносильное исходному.
        15 – 3х = х² + 2х + 1;  х² + 5х – 14 = 0;  х₁ = – 7,  х₂ = 2.
        Проверка. При х₁ = – 7,   – не корень.
                        При х₂ = 2,   – корень.
    Ответ: 3.

Пример 17. Решить систему 

     Решение:       

Замечание. В данном случае не требуется ни проверка, ни нахождение области определения, поскольку правые части обоих уравнений и до возведений в квадрат, и после – заведомо положительны.
    Ответ: (29; 20).

Уравнения, содержащие знак модуля

Пример 18. Решите уравнение  .
    Решение:
        х + 5 = 3 или х + 5 = – 3. Откуда х₁ = – 2 или х₂ = – 8.
    Ответ: – 2; – 8.

Пример 19. Решите уравнение  .
    Решение:

        Данное уравнение будем рассматривать на двух числовых промежутках: .

        Значение –1/2 назовём пограничным, т.е. при х = –1/2, 2х – 1 = 0.
При   имеем  –(2x+1)=x+3; -3=4; x=-4/3 - число принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно,   –4/3 - корень.
При   имеем 2x+1=x+3; x=2 – принадлежит рассматриваемому промежутку, следовательно, является корнем.
Помните! Пограничное значение смены знака необходимо включить хотя бы в один из интервалов.
    Ответ: -4/3; 2.

Пример 20. Решите уравнение  .
    Решение:
        Двучлен х – 3 меняет свой знак при переходе через х = 3, а х + 1 – при х = – 1. Данное уравнение будем рассматривать на трёх числовых промежутках: 
        1) ; имеем-(x-3)-2(x+1)=4; – 3х = 3; х = – 1.
             и не является корнем.
        2)  ;-(x-3)-2(x+1)=4; х = – 1.
             , – 1 – корень.
        3)  ;(x-3)-2(x+1)=4; 3х = 5; х =5/3.
             , следовательно, корнем не является.
    Ответ: – 1.

Пример 21. Решить систему 

     Решение:

    Ответ: (3; – 1), (1; – 3).

Уравнения с параметром

Пример 22. При каком значении а уравнение х(2 – а) – х = 5 + х не имеет решений?
    Решение:
        Выразим х через а.  2х – ах – х – х = 5; – ах = 5; х = –5/a  .
        При а = 0  х не определён. 
        Подставим а = 0 в исходное уравнение: х(2 – 0) – х = 5 + х; 2х – 2х = 5; 0 ≠ 5, следовательно, при а =0 данное уравнение не имеет решения.
    Ответ: при а = 0.

Пример 23.  Корни х₁ и х₂ уравнения х² + х + а = 0 обладают свойством x₁²+x₂²=5 . Найти а.
    Решение:
        Уравнение х² + х + а = 0 – приведённое квадратное. По теореме Виета х₁ + х₂ = – 1, х₁ ∙ х₂ = а. Т.к. x₁²+x₂²=5, то     х₁ – х₂ = – 5.
        Имеем х₁ = – 3; х₂ = 2, следовательно, а = (– 3)∙2= – 6.
    Ответ: а = – 6.

Пример 24. При каких значениях параметра n уравнение (n-2)x²-2nx+n+3=0  имеет корни разных знаков.
    Решение:
        n – 2 ≠ 0. В противном случае – нет квадратного уравнения.
        Приведём исходное уравнение (путём почленного деления обеих частей равенства на n – 2) к приведённому:

        Чтобы уравнение имело корни разных знаков, необходимо и достаточно выполнение двух условий одновременно: 
        1) D/4 0 (по формуле чётного коэффициента);
        2) x₁ ∙ x₂ 

    Ответ:  .

Решите самостоятельно

1) Решите уравнение  .

  2) Решите уравнение  .

  3) Решите уравнение  .

   4) Решите уравнение  .

    5) Решите систему уравнений  .

    6) Решите систему уравнений  .

    7) Пусть (х₀; у₀) решение системы уравнений  . Найдите произведение х₀ ∙ у₀.

    8) Решите систему уравнений  .