Уравнения и системы уравнений.

Уравнения и системы уравнений.

Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной , если поставлена задача найти все такие значения переменной , при которых выражения и принимают равные числовые значения. Говорят также, что - уравнения с одним неизвестным .

Всякое значение переменной, при котором выражения и принимают равные числовые значения, называется корнем (или решением) уравнения. Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться в том, что их нет.

Равносильность уравнений. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Н: уравнения и равносильные, так как каждое из них имеет единственный корень – число 5.

Равносильны и уравнения и ни одно из них не имеет корней. Уравнения и неравносильны, поскольку первое имеет только один корень 6, второе да корня: 6 и -6

Теорема 1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же выражение, имеющее смысл при всех и ни при каких не обращающееся в нуль, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень или из обеих частей уравнения извлечь корень одной и той же нечетной степени, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 4. Если обе части уравнения неотрицательны при всех то после их возведения в одну и ту же четную степень получится уравнение, равносильное данному.

Линейные уравнения, квадратные уравнения и приводимые к ним. Дробно-рациональные уравнения.

Линейные уравнения. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида , где и – действительные числа; – называют коэффициентом при переменной, – свободным членом.

Для линейного уравнения возможны три случая:

1. ; корень уравнения равен ;

2. ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом , т.е. корень уравнения – любое действительное число;

3. ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Н:

Это уравнение сводится к линейному. Умножив обе части на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6, 12), получим

;

;

;

;

.

Квадратные уравнения. Уравнения вида

(1)

Где , , – действительные числа, причем , называют квадратным. Если , то квадратное уравнение называют приведенным; если – то не приведенным. Числа , , носят следующие значения: – первый коэффициент, – второй коэффициент, – свободный член.

Корни квадратного уравнения (1) находят по формуле

(2)

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1).

1. Если , то уравнение (1) не имеет корней;

2. Если , то оно имеет один корень; (иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня).

3. Если , то оно имеет два корня.

Н: a)

b) ;

c)

Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении второй коэффициент или свободный член равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Для отыскания его корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения – проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Теорема Виета.

Теорема 5. Если приведенное квадратное уравнение имеет корни и , то

, , (1)

т.е. их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену (теорема Виета).

Теорема 6. Если числа и таковы, что , , то и – корни квадратного уравнения .

Пример: Решить уравнение

Попробуем найти такие два числа и , чтобы выполнялись равенства

Системы и совокупность уравнений

Пусть даны два уравнения и . В том случае, когда нужно найти значения переменно, удовлетворяющие обоим данным уравнениям, говорят, что задана система уравнений и используют для записи фигурную скобку:

.

Пример: Решить систему уравнений

.

Корнями первого уравнения служат числа 1 и -1, а корнями второго – числа 1 и 2. Общим корнем является число 1 – это и есть решение данной системы.

В том случае, когда ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений и используют для записи квадратную скобку:

.

Примет: Решить совокупность уравнений

Корнями первого уравнения являются числа 1 и -1, а корнями второго – числя 1 и -2. Значит, решением донной совокупности служат числа 1, -1 и -2

Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.

Если каждый корень уравнения является одновременно и корнем уравнения , то уравнения называется следствием уравнения . Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но кроме них, уравнение – следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни.

Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее смысл при любых значениях , то получится уравнение, являющееся следствием исходного.

Если обе части уравнения возвести в квадрат (и вообще в любую четную степень), то получится уравнения, являющееся следствием исходного

Дробно-рациональные уравнения

Решение уравнения вида основано на следующем утверждении: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на нуль делить нельзя).

Поэтому решение уравнения проводится в два этапа: сначала решают уравнение , а затем для каждого корня выясняют, обращается ли при найденном значении переменной знаменатель в нуль. Если , то корень уравнения является и корнем уравнения ; если же , то корень уравнения не является корнем уравнения .

Таким образом, уравнение является следствием уравнения . При переходе от уравнения к уравнению (это переход называется освобождением от знаменателя) могут появиться посторонние корне. Их можно отсеять с помощью условия или непосредственной подстановкой каждого корня уравнения в уравнение .

Пример: Решить уравнение .

Из уравнения находим . Так как при знаменатель обращается в нуль, то заданное уравнение не имеет корней.

Область определения уравнения.

Областью определения уравнения называют множество всех тех значений переменной , при которых и выражение , и выражение имеют смысл. Область определения уравнения называют иногда областью допустимых значений.

Пример: а)

Выражения и определены при всех . Значит, область определения - вся числовая прямая.

б)

Выражения и не определены соответственно при и . Поэтому область определения уравнения можно задать условиями: , .

Рациональные уравнения

Уравнение называется рациональным, если и – рациональные выражения. При этом если и – целые выражения, то уравнение называется целым; если же хотя бы одно из выражений и является дробными, то рациональное уравнения называется дробным.

Пример: решить уравнение

Общим знаменателем дробей является . Найдем дополнительные множители для каждой дроби и освободим от знаменателей:

;

.

ОДЗ:

Заметим, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Итак, – единственный корень уравнения.

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательно, либо число , если число отрицательно. Обозначение: .

Формальная запись этого определения такова:

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля.

Пример:

По определению модуля:

Ответ:

Иррациональные уравнения.

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или является основанием степени с дробным показателем.

Как правило, иррациональное уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

1. или

Замечание: Из двух систем выбирают ту, которая решается проще

Пример:

Если , уравнение не имеет корней.

Если , уравнение равносильно уравнению .

Пример:

Первое уравнение совокупности не имеет корней, корень второго уравнения .

Пример: