"Уравнения и параметры"

Алгебраические уравнения.

Алгебра выросла из арифметики, и вычислительной практики людей. Тенденции роста, которые можно отнести к алгебраическим, появились очень рано. Они в начале представляли собой стремление группировать однотипные задачи и формулировать, возможно, более общие правила их решения. У них была общая особенность: неизвестная, которое требуется отыскать по условию задачи, получало свое особое название, а затем обозначалось специальным символом. Основополагающим сочинением по алгебре был трактат узбекского математика и астронома IX века аль Хорезми «Китаб аль Джебр Валь Мукабала». Название в переводе означает: книга об операциях «Джебр (восстановления) и Кабала (приведения)».

Уравнение вида ах = b, где х - переменная, a и b некоторые числа, называются линейными уравнением с одной переменной. Например, 5x = - 4, -0.2x = 0. В первом уравнении, а = 5, b = - 4.

Решить уравнение с одной переменной - значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Алгебраические уравнения – уравнения вида Р [х₁,…,х_n] = 0, где Р – многочлен от переменных х₁, …,х_п. Эти переменные называют неизвестными. Упорядочный набор чисел [а₁,…,а_n] удовлетворяет этому уравнению, если при замене х₁ на а₁, х₂ на а₂ и т.д. получаются верное числовое равенство [напр.: упорядочная тройка чисел [3,4,5] удовлетворяет уравнению х²+у²=z² , поскольку 3² + 4² = 5²]. Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x₁, …., x_n) = 0, например, 3x -5y +z = c – уравнение I степени, называется также линейным , x² + y² = z² – уравнение II степени, x⁴ -3y³ +1 = 0 – уравнение IV степени.

• При каких значениях параметра р оба корня уравнения

2x² +3px + (p² +1) будут меньше 0?

Решение.

1) D = 9p² - 4*2(p² +1) = 9p² - 8p² - 8 = p² - 8.

Так как уравнение имеет 2 корня, то D 0: p² - 8 0

р € (-∞, -√8) (2√2, ∞)

Если х₁ и х₂- корни уравнения, то х₁*х₂ = 0,5(p² + 1), поэтому х₁ и х₂ имеют одинаковый знак.

Если х_{1 2 1}+ х₂ p 0.

Ответ: уравнение будет иметь 2 различных отрицательных корня

при p € (2√ 2; ∞).

Диофантовое уравнение.

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные корни. Диофантовые уравнения имеют, как правила, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

Например:3х + 5х = 7z, х + у = z, 3x + 4y = 5z.

Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III веке до н.э. Его книга содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений. Книга сохранилась до наших дней.

К диофантовым уравнениям относятся задачи, по смыслу которых неизвестные величины могут быть только целыми числами, например,

формулы для нахождения целочисленных сторон прямоугольного треугольника (т.е. для решений уравнений х + у = z).

Даже при n=3 диофантовы уравнения подаются решению с большим трудом, при чем ответы могут быть самыми разными. 3х + 4у = 5z: такие уравнения совсем не имеют решений в целых числах, которые легко найти. х + у = 2z: имеет конечные число решений в целых числах, которые легко найти. х + у = 9z: имеет бесконечно много целочисленных решений, однако, написать для них формулы далеко не просто.

Среди 23 проблем, выделенных Диофантом, третья проблем ставила вопрос об эквивалентности понятий, десятая проблема была посвящена вопросам разрешимости диофантовых уравнений и.т.д.

Диофант рассматривал задачи из неопределенного анализа. Он отыскивал рациональные решения таких систем алгебраических уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений. В системе современной математической науки она расположена на стыке теории чисел и алгебраической геометрии: ее теперь называют диофантовым анализом.

«Арифметика» Диофанта состояла из 13 книг (частей), но сохранились только 6 «первых» книг. В начале сочинения введена алгебраическая символика и определен способ подхода к решению задач, характерный для алгебры. В «Арифметике» величины обозначены порядковыми буквами греческого алфавита, введены специальные символы для неизвестной и для первых ее шести степеней. Показатели степеней у Диофанта не только положительные, но и отрицательные. Имеются специальные обозначения для свободного члена, для знака вычитания и знака равенства. Для сложения специального знака еще нет, слагаемые просто пишутся рядом. Явно сформулированы правила алгебраических операций, в том числе правило умножения и деления степеней неизвестной, правило перенесения членов уравнения с одной стороны знака равенства членов на другую и другие.

Литература для учащихся.

1. Энциклопедический словарь юного математика.- М., Педагогика, 1989

2. Детская энциклопедия, т. 2

3. Кузнецова Л. В. и другие. « Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы». - M., Просвещение, 1987г.

4. Гиндикин С. Г. «Рассказы о физиках и математиках». М., Наука, 1985г.

5. Рыбников К.А. «Возникновение и развитие математической науки». - М., Просвещение, 1987г.

6. Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. «Математика и элементарные функции».- М., Высшая школа, 1976г.

Литература для учителя.

1. Симонов А. Я., Бакаев Д. С., Эпельман А.Г. и другие. « Система тренировочных упражнений по математике». – М., Просвещение 1991 г.

2. Абрамович М. И., Стародубцев М.Т. Математика. « Алгебра и элементарные функции».- М., Высшая школа,1976г.

3. Каганов Э. Д. « 400 самых интересных задач с решениями (6-11кл.)». В помощь школьнику. – М., ЮНВЕС,1997г.

4. Математика. Приложение к газете «1 сентября».

5. Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». – М., Наука,1979г.

6. Выгодский М. Я. «Справочник по высшей математике». – М., Наука,1977г.

Исторические задачи.

Многие задачи, решаемые алгебраически, могут быть решены и без помощи уравнений. Люди умели это делать задолго до возникновения алгебры, потому что им это было нужно для жизни и работы. Не случайно задачи на сообразительность имеются в фольклоре, сказках и легендах разных народов. Вот несколько таких задач.

Задача Пифагора ( Пифагор , ок. 570 – ок. 500 г.до н.э.) .

Учителя спросили: «Скажи, о великий Пифагор, сколько у тебя учеников?» И он ответил: «Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть еще три женщины». Узнайте число учеников Пифагора.

Одна из известных русских задач.

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» - «Нас не сто гусей, - отвечает вожак,- если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолька, да четверть столько, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей» Сколько гусей было в стае?

Задача из «Арифметики» Магницкого.

«Послан человек из Москвы на Вологду, и велено ему в хождении своем совершати на всякий день по 40 верст; потом другий человек в другий день послан вслед его, и велено ему идти за день 45 верст, и ведательно есть, в коликий день постигнет второй первого?»

Задача Диофанта.

Найти три числа, чтобы большее превышало среднее на третью часть наименьшего, среднее было бы больше наименьшего на третью часть большего, наименьшее же на 10 превышало третью часть среднего.

Р е ш е н и и е.

Задача Пифагора. Пусть х- число учеников, тогда

х + х + х + 3 =х,

Ответ: 28 учеников.

Одна из известных русских задач. Пусть х – число гусей в стае, тогда

х + х + 0,5х + 0,25х + 1 = 100,

Ответ: 36 гусей. .

Задача из «Арифметики» Магницкого.

1 верста = 500 саженям = 1500 аршинам = 3500 футам = 1,0668 км.

Ответ: через 8 дней.

Задача Диофанта. Пусть 3х среднее, тогда третья часть будет х,

наименьшее – ( х + 10).

1 х + 10

3х – (х + 10) = — (3х + ——— ).

3 3

Ответ: среднее – 37,5; наименьшее – 22,5; наибольшее – 45.

Способы решения систем линейных уравнений.

В курсе алгебры ученики 7 класса научились решать системы линейных уравнений способом подстановки и способом сложения. На одном из занятий элективного курса я познакомила ребят еще с двумя способами решения систем линейных уравнений: алгоритм Гаусса и правило Крамера. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Рассмотрим применение матриц и определителей к исследованию системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными x, y, z :

а₁x + b₁y + c₁z = h₁,

a₂x + b₂y + c₂z = h₂, (1)

a₃x + b₃y + c₃z = h₃.

(коэффициенты а₁, а₂, а₃, в₁, в₂, в₃ , с₁, с₂, с₃ и свободные члены h₁, h₂, h₃ считаются заданными).

Определитель ∆ называется определителем системы (1). Определители ∆x, ∆y, ∆z получаются из определителя системы ∆ заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Если определитель ∆ системы (1) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, и оно выражается формулами Крамера: ∆х ∆у ∆z

х = ── , у = ── , z = ──. (2)

∆ ∆ ∆

В дальнейшем основную роль будут играть следующие четыре определителя:

а₁ в₁ с₁ h₁ в₁ с₁ а₁ h₁ с₁ а₁ в₁ h₁

∆ = а₂ в₂ с₂ , ∆x = h₂ в₂ с₂ , ∆y= а₂ h₂ с₂ , ∆z = a₂ в₂ h₂ .

а₃ в₃ с₃ h₃ в₃ с₃ а₃ h₃ с₃ а₃ в₃ h₃

Алгоритм Гаусса. Нахождение множества решений системы линейных уравнений основывается на том, что от заданной системы с помощью эквивалентных преобразований переходят к равносильной системе, которая решается «проще», чем исходная система. Эквивалентными преобразованиями системы линейных уравнений

являются:

1. перемена местами двух уравнений в системе,

2. умножение какого-либо уравнения системы на действительное число с ≠ 0,

3. прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.

ГОУ «Средняя общеобразовательная школа ст. Евсино»

Решебник

Уравнения с параметром.

Составлен:

учащимися 9а класса

Белоусовым С.,

ГарифулинымС.,

Жуковым М.,

Киндеревичем В.,

Алагезовым Р.

2004 – 2005 уч. год

Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим пример. Найти все решения системы :

• x + 2y +z = 4,

3x - 5y +3z = 1,

2x + 7y – z = 8.

∆ = 3 -5 3 = 1*(-5)*(-1) + 3*7*1 + 2*3*2 – 2*1*(-5) – 1*3*7 – 3*2*(-1) = 33,

2 7 -1

4 2 1

∆х = 1 -5 3 = 4*(-5)*(-1) + 1*7*1 + 2*3*8 – 1*(-5)*8 – 4*3*7 – 1*2*(-1) = 33,

1. 7 -1

1 4 1

∆у = 3 1 3 = 1*1*(-1) + 3*8*1 + 4*3*2 – 1*1*2 – 4*3*(-1) – 1*3*8 = 33,

1. 8 –1

1. 2 4

∆z = 3 -5 1 = 1*(-5)*8 + 3*7*4 + 2*2*1 – 2*(-5)*4 – 1*7*1 – 3*2*8 = 33.

2 7 8

Т.к ∆ = 33 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение, определяемое формулами:

∆х 33 ∆у 33 ∆z 33

х = ── = ── = 1, у = ── = ── =1, z = ── = ── = 1.

∆ 33 ∆ 33 ∆ 33

Ответ: (1, 1, 1)

• 2x + y + 3z = 9,

x - 2y + z = -2,

3x + 2y + 2z = 7.

Решение.

2 1 3 9 1 3 2 9 3 2 1 9

∆ = 1 -2 1 = 13, ∆х = -2 -2 1 = - 13, ∆у = 1 -2 1 = 26, ∆z = 1 -2 -2 = 39.

3 2 2 7 2 2 3 7 2 3 2 7

∆х 13 ∆у 26 ∆z 39

х = ── = ── = - 1, у = ── = ── = 2, z = ── = ── = 3.

∆ - 13 ∆ 13 ∆ 13

Ответ: (-1, 2, 3)

ГОУ «Средняя общеобразовательная школа ст. Евсино»

Справочник

Уравнения.

Составлен:

учащимися 9а класса

Кошелевой К.,

Кулаковой Т.

Щук Т.,

Ратушной М.,

2004 – 2005 уч. год

МКОУ «Средняя общеобразовательная школа д.Шибково»

Элективный курс «Уравнения и параметры»

Семина Л.А.

учитель математики

высшей категории

20 16

• Цели, задачи
• Актуальность
• Обеспеченность средствами обучения
• Адекватность организации

• Цель курса – обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения об уравнениях с параметром

• Задачи курса –

• Знать алгоритм решения уравнений с параметром
• Формирование умений решать уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным и квадратным
• Развитие у учащихся логического мышления, навыков работы с дополнительными источниками информации

Актуальность:

• Инвариантность:

применимость для учащихся с различными уровнями развития.

• Развитие

познавательного

интереса:

• Привлекательность,
• Реальность,
• Исторические сведения,
• Личностная значимость .

• Дифференцируемость:

• по способам выполнения учебных заданий,
• по характеру познавательной деятельности.

• Обеспеченность средствами обучения:

• фонд библиотеки,
• современные источники информации,
• экзаменационный сборник,
• справочники.

• Адекватность организации:
• Адекватность организации:

• различные формы организации, контролируемость, краткосрочность, оптимальность использования времени.
• различные формы организации,
• контролируемость,
• краткосрочность,
• оптимальность использования времени.

Тематическое планирование 16 –17 ч. 1Линейное уравнение. 3 – 4ч. 2. Системы линейных уравнений. 4ч. 3. Системы линейных уравнений с параметром. 2ч. 4.Квадратное уравнение с параметром. 4ч. 5.Работа по созданию презентации. 2ч. 6. Защита проекта. 1ч. Содержание образования

Содержание образования.

• Уравнение

• Параметр

• Диофантовые уравнения.
• Алгебраические уравнения .
• Исторические задачи.
• Экзаменационные задания.
• Метод Гаусса, формулы Крамера.

• Линейное уравнение.
• Квадратное уравнения.
• Теорема Виета .
• Системы уравнений.
• Экзаменационные задания.

Продолжение

10 класс

Тригонометрические уравнения с параметром

11 класс

Показательные и логарифмические уравнения с параметром.

Итог работы:

• программа курса
• справочник «Уравнения»
• решебник «Уравнения и параметры»
• буклет «Элективный курс»
• презентация «Уравнения и параметры» (выполнена учениками 9а класса)

ЛИТЕРАТУРА

• ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

• ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Над презентацией работали

Сёмина Л.А., учитель математики

Пеканова В, ученица 10 класс

.