Урок алгебры 9 класс "Решение задач по теме "Элементы комбинаторики" "

Урок алгебры Дата:___06.04.2016____ Класс__9___

Тема урока: Решение задач по теме «Элементы комбинаторики»

Цели урока:

Оборудование урока: доска, smartboard, опорный конспект, презентация.

Тип урока: совершенствование умений и навыков.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент. ( 1^/ )

С каким настроением вы пришли ко мне на урок?

II. Проверка домашнего задания. ( 5^/ )

1. Правильность выполнения.

2. Знание теоретического материала.

III. Актуализация опорных знаний. ( 7^/ )

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторные задачи делятся на несколько групп.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1

Pn = n!

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n! n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Задача1.

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

P₄ = 4!= 1 ∙2∙ 3 ∙4 = 24

Это задача на перестановки

Задача 2.

У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Это размещения .

Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Задача3.

Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

A

= = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

Ответ: 3024.

Задача 4. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?

Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

1 способ решения
123 124 125 134 135 145

234 235 245

345 Ответ: 10

2 способ решения

С= = = 10

Ответ: 10

Это сочетания .

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

IV. Проверочная работа. ( 10^/ ) самопроверка

В а р и а н т 1

Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) .

В а р и а н т 2

а) ; б) ; в) .

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

а) ;

б) ;

в)

.

В а р и а н т 2

а) ;

б) ;

в) .

1. Физкультминутка. ( 2^/ )

VI. Формирование умений и навыков. ( 12^/ )

1. В сильном классе можно предложить учащимся доказать два свойства сочетания из п элементов по k (п ≥ k) (или в качестве дополнительного задания интересующимся математикой учащимся):

– первое свойство;

:

П р и м е р: .

– второе свойство;

:

П р и м е р: .

Разделить класс на две группы ( в конце работы применить взаимопроверку решенных задач в группах)

1 группа решает №776, 778(а, в), 780.

2 группа решает №777, 779, 782

2. Следующие задачи решаются с применением формул нахождения числа перестановок, сочетаний и размещений.

№ 776. Р е ш е н и е

а) Фиксируем один элемент «в». Количество перестановок из пяти оставшихся элементов: Р₅ = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

б) Фиксируем два элемента «а» и «т». Количество перестановок из 4 оставшихся элементов: Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: а) 120 анаграмм; б) 24 анаграммы.

№ 777. Р е ш е н и е

Мальчики и девочки должны чередоваться, то есть девочки могут сидеть только на четных местах, а мальчики только на нечетных. Поэтому девочки могут меняться местами только с девочками, а мальчики – только с мальчиками. Четырех девочек можно рассадить: Р₄ = 4! = 24 способами, а пятерых мальчиков Р₅ = 5! = 120 способами.

Каждый способ размещения девочек может сочетаться с каждым способом размещения мальчиков, поэтому по правилу произведения общее число способов равно: Р₄ · Р₅ = 24 · 120 = 2880.

О т в е т: 2880 способов.

№ 778 (а; в). Р е ш е н и е

Выбираем три элемента из 12, порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов выбора: = 10.

в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

.

О т в е т: а) 10 способов; в) 45 способов.

№ 779. Р е ш е н и е

а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов:

.

б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов:

= 13 · 14 · 15 · 16 = 43680.

О т в е т: а) 1820 способов; б) 43680 способов.

№ 780. Р е ш е н и е

Выбираем (без повторений) 2 буквы из 5 и 3 цифры из 10; порядок выбора учитывается (например: 213 кт и 321 тк – разные).

Количество способов выбора:

(для букв);

(для цифр).

Каждый вариант выбора букв может сочетаться с каждым вариантом выбора цифр, поэтому, по комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно:

О т в е т: 14400 способов.

№ 782. Р е ш е н и е

Выбираем из группы туристов в п человек четырех дежурных (порядок выбора значения не имеет); число способов . Затем выбираем из группы туристов в п человек двух дежурных – число способов . Так как число способов выбора четырех дежурных в 13 раз больше, чем двух, получаем уравнение:

= 13 · ;

;

;

;

п² – 5п – 150 = 0;

п₁ = 15, п₂ = –10. Так как п N, то п₂ = –10 – не удовлетворяет условию, значит, п = 15.

О т в е т: 15 туристов.

VI I. Закрепление темы. ( 5^/ )

Проблемный вопрос:

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении

олимпиадных задач, задач из ГИА, ЕГЭ.

Области применения комбинаторики:

-учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты

выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)

Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Вывод:

Комбинаторика повсюду.

Комбинаторика везде.

Комбинаторика вокруг нас.

Составить СИНКВЕЙН к слову комбинаторика

IV. Итоги урока. ( 2^/ )

Домашнее задание: п.33, № 778 (б), № 781, № 844

VII. Рефлексия. ( 1^/ )

Определи своё настроение в конце урока

4