Разработки уроков по Блуму

Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи".

Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897)

План урока

Приложение 1.А.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки.

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Определение. Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. n!=1∙2∙3∙…∙(n-1)∙n (записать формулу в тетрадь). Необходимо знать, что 0!=1, 1!=1 .

Приложение 1.В

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений. Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Определение: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называют перестановками из n элементов. Число всех возможных перестановок обозначается Р_n и т.е.,

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: Р₇ = 7!, где 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг. Ответ: 5040 способов.

Приложение1.С.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их =

Задача № 2. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет: Ответ:151200 способов

Приложение 1.D

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

Задача № 3. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно Ответ: 120 вариантов.

Приложение 2

№1. Вычислите (работа в парах):

а) 4! = ______=_; б) 2! + 5! = 1•2 + 1•2•3•4•5 =___+___ = __; в) 5•4! =5•________ = ______ г)_____;

№2. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

№3. Проказница Мартышка, Осел, Козел, Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет …

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

№4. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

Приложение 3.

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. В 9 классе обучается 24 учащихся.. Сколькими способами можно составить график дежурства по классу, если группа дежурных состоит из трех учащихся?

1) 51200 2)12144 3)12254 4) 12244

3. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 495 3) 36 4) 48

________________________________________________________________________

Приложение 6. Исторические сведения

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей.

Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма.

Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».