Урок геометрии 10 класс. Параллельность прямых

Урок геометрии в 10 классе

Тема урока: Параллельные прямые в пространстве

Цель урока: Рассмотреть возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве;

ввести понятие прямых параллельных в пространстве и скрещивающихся

Использовать планиметрический материал: Аксиома параллельных, Теорема Фалеса, теоремы о средних линиях треугольника и трапеции, признак подобия треугольников по двум углам.

Ход урока:

Обсуждение:

1. Каково может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?

- Прямые либо пересекаются, т.е. имеют одну общую точку,

либо параллельны, т.е. не пересекаются.

1. Как через точку А, заданную вне данной прямой а, провести прямую, параллельную а?

- Например, с помощью угольника (или посредством двух перпендикуляров).

1. Сколько таких параллельных прямых можно провести? Почему?

- Только одну: это гарантируется аксиомой параллельных (аксиома 5).

Подчеркиваю, что в аксиоме утверждается наличие не более одной параллельной.

Поскольку одну параллельную всегда можно провести, из аксиомы параллельных следует теорема о параллельных:

через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

После такого обсуждения переходим к обсуждению о взаимном расположении двух прямых в пространстве. Как и в планиметрии две различные прямые либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются. Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости или прямые не лежат в одной плоскости. Непересекающиеся прямые в пространстве, естественно, считать параллельными только в первом случае; во втором случае прямые называются скрещивающиеся.

Введем определения:

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Для большей наглядности объясняемого материала использую модели параллелепипеда.

1. Закрепление определения провожу на примере задачи №15.

Прямые АВ и CD пересекаются. Могут ли прямые AC и BD быть скрещивающимися?

1. Перехожу к рассмотрению параллельных прямых.

- Что можно сказать о существовании, о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку в пространстве?

Докажем теорему:

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и при том только одну.

Доказательство:

Пусть а – данная прямая и А – точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую а и точку А плоскость α. Докажем, что прямая а₁, параллельная а, единственна. Допустим, что существует другая прямая а_2, проходящая через точку А и параллельная прямой а.

Через прямые а и а₂ можно провести плоскость α₂. Плоскость α₂ проходит через прямую а и точку А; следовательно, она совпадает с α. Теперь по аксиоме параллельные прямые а1 и а2 совпадают.

Теорема доказана.

1. Самостоятельное решение №№1,2,4(1),6(2,3) с последующим разбором и обсуждением. Особо тщательно разбираем №4, №6, где используется сведение стереометрической задачи к планиметрической.

1. Вопросы для закрепления.

а) Каково может быть взаимное расположение двух различных прямых в пространстве?

(описать, обосновать и показать на моделях)

б) В каком случае прямые в пространстве называются параллельными?

Скрещивающимися?

в) Сформулируйте теорему о параллельных прямых в пространстве. Какие аксиомы и теоремы используются при ее доказательстве?

г) Сформулируйте аксиому параллельных и теорему о параллельных на плоскости.

(В чем разница между ними?).

д) Как через данную точку в пространстве построить прямую, параллельную данной прямой? (Описать воображаемое пространственное построение).

8. Домашнее задание:

№№ 3,5,6,14,

§14,

вопросы 1-3.