Урок№31 9г Дата___________
Тема урока: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Тип урока – урок изучения нового материала
Цели урока:
обучающие:
познакомиться с понятием координаты вектора,
изучить правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число;
научить применять знания при решении геометрических задач;
развивающие:
формировать у учащихся таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы;
воспитательные:
воспитывать интерес к изучению математических дисциплин
воспитывать самостоятельность и ответственность.
Задачи урока:
способствовать формированию умений раскладывать вектор по двум данным неколлинеарным векторам и нахождению координат вектора.
Планируемые результаты:
Личностного развития:
продолжать развивать умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи,
развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач.
Метапредметного развития:
расширять кругозор, прививать умение совместно работать (чувство товарищества и ответственности за результаты своего труда);
продолжать развивать умение понимать и использовать математические средства наглядности.
Предметного развития:
формировать умение применять изученные понятия для решения задач практического характера.
Формы работы: фронтальная.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический.
Оборудование: учебник, презентация
Ход урока.
Организационный момент
Актуализация знаний.
Учитель: Вам уже хорошо знакомо понятие вектора, и вы умеете выполнять некоторые действия над векторами. А именно: складывать, вычитать и умножать вектор на число.
Учитель: Что же такое вектор?
Ученик: Отрезок, для которого указанно, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
Учитель: Какие векторы называют коллинеарными?
Ученик: Это нулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
Изучение нового материала.
Учитель: На этом уроке мы приступаем к более глубокому изучению вопроса о векторах и для начала запишем лемму о коллинеарных векторах.
Учитель: Лемма, а что же это такое? Леммой называется вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем. Лемма - доказанное утверждение. (показ презентации)
Лемма. Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число , что .
Доказательство.
1. (соноправленные векторы, их направление совпадают)
Пусть , тогда .
2. (противоположно направленные векторы, их направления противоположны)
Пусть , тогда .
Лемма доказана.
Выполним задание. (показ презентации)
Выразить коллинеарные векторы , , , , и через коллинеарный им вектор .
Решение.
Итак, начнём с вектора Видим, что векторы и сонаправлены. Значит, k0.
Также, взяв длину вектора за единицу, видим что длина вектора в 3 раза больше.
Можем записать, что вектор равен произведению вектора на число 3.
Рассмотрим следующий вектор, вектор . Он так же сонаправлен с вектором , поэтому k0. При этом длина вектора в 6,5 раза больше длины вектора .
Тогда вектор равен произведению вектора на 6,5.
Далее рассмотрим вектор .
Он противоположно направлен с вектором . Поэтому k в 5,5 раза больше длины вектора . Тогда вектор .
Далее не сложно записать, что вектор .
Следующим рассмотрим вектор . Он противоположно направлен вектору и его длина в 2 раза меньше, поэтому вектор .
Остался вектор . Как видите, он нулевой. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Поэтому вектор .
Сейчас вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов.
Если векторы-слагаемые и отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD, мы получим вектор их суммы.
Обозначим вектор как вектор . Он равен сумме .
В свою очередь вектор всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора на некоторое число x, а вектор — как произведение коллинеарного ему вектора на некоторое число y.
Тогда можно записать, что вектор .
В таком случае говорят, что Вектор разложен по неколлинеарным векторам и . , коэффициенты разложения.
Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы и .
Докажем, что любой вектор можно разложить по данным векторам.
1.
В этом случае по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор
.
Так же можно записать его разложение по векторам и . Только коэффициент разложения при векторе будет равен нулю .
2.
Отметим некоторую точку О и отложим от неё векторы , и , равные векторам , и соответственно.
Через точку P проведём прямую параллельную прямой . Точку пересечения полученной прямой с ОА обозначим как А1.
По правилу треугольника вектор . Вектор коллинеарен вектору , вектор коллинеарен вектору . Это значит, что вектор , а вектор .
Отсюда получаем, что вектор . Тем самым мы разложили его по векторам и .
Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.
Теперь докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным способом.
Допустим, что кроме разложения возможно другое разложение, .
Вычтем второе равенство из первого.
Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам и , при этом коэффициенты разложения равны и .
.
Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А значит, при и .
Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.
Что и требовалось доказать.
.
Задания в классе: №911(а,б), №912(а,б,в), №916(а,б,в).
Подведём итоги урока.
Сегодня вы узнали, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор умножением на некоторое число k.
Также мы рассмотрели примеры и убедились в том, что на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Д/з: №911(в,г), №912 (г-и), №916(г)