Урок открытия новых знаний по теме "Арифметическая прогрессия".

Тема урока: Арифметическая прогрессия

Цели: Цель урока: формирование понятия арифметической прогрессии и ее компонентов; применение полученных знаний при решении основных типов задач ОГЭ на арифметическую прогрессию.

Образовательная цель (формирование познавательных и логических УУД): формирование первоначальных представлений об арифметической прогрессии; поиск и выделение необходимой информации; подведение под понятия; выведение следствий; устанавливать причинно – следственные связи; строить логическое рассуждение и делать выводы; формирование образовательной компетентности.

Развивающая цель: (формирование регулятивных УУД) умение определять понятия, создавать обобщения; развитие умений анализировать.

Воспитательная цель (формирование личностных УУД) воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблемы, доказывать свою точку зрения; формирование целостного мировоззрения.

Задачи:

Обеспечить осознание и усвоение понятия арифметической прогрессии и ее компонентов;

Формирование УУД при решении задач и формировании новых знаний;

Способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью информационно-коммуникационных технологий.

     Тип урока: изучение нового материала

Формы работы учащихся:   фронтальная работа

Оборудование: компьютер, экран, доска

Длительность: 1 урок

Структура и ход урока

План урока:

1.         Организационный момент, постановка целей

2.         Актуализация знаний, устная работа

3.         Изучение нового материала

4.         Первичное закрепление

5.         Домашнее задание

6.         Подведение итогов урока

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Приветствие:  Здравствуйте! Садитесь.

II. Актуализация знаний, устная работа. (Цель: повторить понятие последовательности, ее способов задания, умение находить неизвестные члены последовательности).

            Давайте поговорим о последовательности:

• Что называется числовой  последовательностью? (Ф-ию у=f (х), хϵN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью)

• Какие способы задания последовательностей вы знаете? (Аналитический-формула, словесный- правил, рекуррентный-с помощью предыдущего члена)

• Как задана эта числовая  последовательность

1) В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

2) В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

III. Переход к изучению новой темы (Цель: подвести учащихся к формированию понятия арифметической прогрессии – частично-поисковый метод) 

Рассмотрим последовательности:

1) 6, 8, 10,…                 а _n+1 =a _n +2

2) - 12, - 9, - 6,…          а _n+1 =a _n +3

3) 2, 6, 18,…                 а _n+1 =a _n * 2   

4) 25, 21, 17,…             а _n+1 =a _n +(- 4)

5) 36, 12, 4, …              а _n+1 =a _n : 3 

- Найдите последующий 4-ый и 5-ый члены  каждой из числовых последовательностей.

- Как определили?

- Задайте формулой.

-  А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общим признаком?

- Попробуйте сформулировать свойство, которым обладают эти посл-ти.

Такие последовательности называются арифметической прогрессией.

Тема сегодняшнего урока – «Арифметическая прогрессия».

 Запишите в тетради тему урока.

Давайте определим цели урока.  – (Что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.)

Итак, цели урока:

- формирование понятия арифметической прогрессии;

- виды и способы задания;

- научиться находить неизвестные компоненты арифметической прогрессии. 

IV. Введение определения (Цель: сформулировать определение арифметической прогрессии, ее компонентов, задание прогрессии рекуррентной формулой) 

Определение арифметической прогрессии: последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Обозначается   (а_n )

Число d – называется разностью арифметической прогрессии.

Рекуррентная формула: a_n= a₁+ d(n-1) 

Разность арифметической прогрессии показывает, на сколько следующий член посл-ти отличается от предыдущего  d= a_n+1 - a_n

а) Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей

б) Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( , то прогрессия является убывающей

в) В случае, если разность равна нулю ( ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной

 V. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии. (Цель: показать, что не всегда рекуррентный способ задания ариф. прогрессии удобен. Подвести учащихся к выводу формулы n-го члена прогрессии.) Рассмотрим   задачу 1

 Задача.  1) В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

Если выписать количество мест, находящихся в амфитеатре каждого ряда, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество мест в каждом из 11 рядов? Можно ли как-то обойтись без этого?

 Замечаем, что до 11 ряда, всего 10 рядов. Таким образом, в 11 ряду будет 22+3*10=52 места.

 Ответ: 52 места.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Давайте проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности (работа у доски).

a₁, d

a₂=a₁ +d

a₃= a₂ +d= a₁ +d+ d=a₁+2d

a₄=a₃ +d= a₁+2d+d= a₁ +3d

:::::::::::::  a₈= a₁+ 7d,     a₂₀= a₁ +19d

 a₁ = a₁+ d (n-1) 

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии. Запишите в тетради.

- В чем преимущество формулы n-го члена? (С ее помощью можно найти любой член прогрессии, а так же а₁, d,  n.)

Вывод:  Теперь мы видим, что арифметическую прогрессию можно задать не только рекуррентным и аналитическим способом.

VI. Первичное закрепление. (Цель: научиться пользоваться  формулой n-го члена при нахождении неизвестных элементов прогрессии)

ОГЭ задания №14 «Арифметическая и геометрическая прогрессии» № 1.3,1.4,1.5

3.1,3.2,3.3

. VII. Подведение итогов. Домашнее задание. (Цель: подвести итог, повторить основные правила, изученные на уроке)

1. Запишем домашнее задание: ОГЭ 14. «Арифметическая и геометрическая прогрессии» № 3.4,3.5. 3.6 (индивидуально №15.1)

2. Подведем итог. Вернемся к целям нашего урока.  

- Что нового сегодня узнали? (Понятие арифметической прогрессии)

- Что это такое? (Послед-ть, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом)

- Как называется число, которое прибавляем? (Разность арифметической прогрессии)

- Как ее найти? (а₂ – а_1.), а если ар. прогрессия будет задана с а₅, а₆, а₇,..? (а₆-а₅)

- Что еще узнали? (Виды и способы задания: рекуррентная и аналитическая формула)

А знаете ли вы, что означают слово?

• прогрессия

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

 «прогресс»-  движение  вперёд  («успех»,  «постоянное  усиление»).  Термин  и  обозначение         ввели  французские  математики   Ланьи  (1692)  и  Безу  (1797)

В истории математики есть такой факт. Английский математик Абрахам де Муавр  в престарелом возрасте однажды  обнаружил, что продолжительность его сна  растет на 15 минут в день.

Составив арифметическую прогрессию, он  определил дату,   когда  она достигла бы 24 часа –           27 ноября 1754 года.    В этот день он и умер.

VIII. Рефлексия.

Молодцы! За работу на уроке получают оценки  …..

Спасибо за урок!