Урок по теме: «Объем шара». 11-й класс

Урок по теме: «Объем шара». 11-й класс

Учитель Чегринец Е.И.

Цели урока:

образовательные:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Тела вращения»;

вывести формулу объема шара.

воспитательные:

показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;

показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

развивающие:

совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии 10-11класс, автор Л.С.Атанасян; компьютер;

мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1 ) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.1.Цилиндр. 2.Конус. 3.Усеченный конус. 4. Шар.

2) Проверка творческой домашней работы. Презентации учащихся по решению задач с открытого банка ЕГЭ, типа В9.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычесления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объёмы тел с помощью интегральной формулы. V=

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объёма шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях).

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом (рис178).Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Т ак как S(x)=пr² ,то

S(x)=п(R²-x²).

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV.Формирование умений и навыков учащихся.

ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА: При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

=

Решение:

Задача (Архимеда):

Дано: в цилиндр вписан шар

Найти: отношение объёмов цилиндра и шара

Ответ:1,5

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объём шара в полтора раза меньше объёма описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде.)

Задачи из ЕГЭ (В9):

1.Около шара описан цилиндр, площадь поверхности

которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда)

Ответ: 12

2.Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

Поверхность шара S₁ = 4пR², стала S₂ = 4пR²/9 = 4п (R/3)² = 4пr²

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V₁= 4/3 ПR³, а объем V₂= 4/3 пr³ = 4/3 п(R/3)³ =4/3 пR³ /27 = V₁ / 27.

Ответ:27

V. Итог урока.

Выставление оценок.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

Домашнее задание.

П.71 № 712, II уровень №714 с презентацией.

Урок по теме: «Объем шара».

11-й класс

Цель урока:

вывести формулу объема шара; обобщить и систематизировать знания по теме «Тела вращения»

Ход урока:

I . Организационный момент.

II . Актуализация опорных знаний.

• Устная работа

2) Презентации решений задач с ЕГЭ

III . Изучение новой темы

• Теорема

IV .Формирование умений и навыков учащихся.

• Проблемная задача
• Задача Архимеда
• Задачи из ЕГЭ(В9)

V . Итог урока . Домашнее задание.

Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел .

1.Цилиндр 2.Конус 3.Усеченный конус 4. Шар

Название фигуры

Цилиндр

Формула

Конус

Усеченный конус

Шар

Сфера (шар)

Шар – множество точек пространства, находящихся на расстоянии не большем R от данной точки.

Фигура, полученная в результате вращения полукруга вокруг диаметра, называется шаром .

А

R

B

C

О

F

О – центр сферы (шара)

A ; F – полюсы сферы (шара)

ОВ – радиус сферы (шара)

BC – диаметр сферы (шара)

Определение объема произвольного тела вращения

Интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем:

Теорема: Объем шара равен

r = √ ОС ² -ОМ ² = √ R ² -x ²

S ( x )=п r ²

S ( x )=п( R ² - x ² ).

ПРОБЛЕМНАЯ ЗАДАЧА

+

=

+

При уличной торговле арбузами

весы отсутствовали. Однако, выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трём арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете?

Правы ли были продавцы?

Задача ( Архимеда)

Дано:

в цилиндр вписан шар

Найти:

отношение объёмов

цилиндра и шара

V цил / V шар =?

Ответ:1,5

Архимед считал, что объем шара в 1,5 раза меньше объема описанного около него цилиндра и что также относятся поверхности этих тел.

12

12

Задача из ЕГЭ(В9)

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:

(Опираемся на открытие Архимеда)

Ответ: 12

Задача из ЕГЭ(В9)

Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:

Пусть радиус первого шара R, уменьшенного r.

Поверхность шара S 1 = 4пR ² , стала

S 2 = 4пR ² /9 = 4п (R/3) ² = 4пr ²

Видим, что r =R/3, т.е. радиус уменьшился в 3 раза.

Объем V 1 = 4/3 ПR ³ , а объем V 2 = 4/3 пr ³ =

=4/3 п(R/3) ³ =4/3 пR ³ /27 = V 1 / 27

Ответ:27