Урок презентация

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Цели

• обобщение и систематизация теоретического материала по данной теме;

• отработка умений и навыков применения формул n -го члена прогрессии, суммы n - первых членов, свойств членов прогрессии;

• развитие навыков работы с дополнительной литературой, с историческим материалом;

• воспитание эстетических качеств и умения общаться.

Задачи

• повторить формулы, относящиеся к теме «Прогрессии»;
• расширить кругозор по данной теме;
• показать связь математики с другими дисциплинами (литературой, биологией, экономикой…);
• формирование интереса к изучению математики.

Содержание

• Лови ошибку! – вспомним теорию.
• Прогрессии в литературе.
• Назад, в историю!

• Прогрессии в древности.

• Прогрессии в жизни и быту.
• Блиц-турнир.
• Заключение.

Дайте определение арифметической прогрессии .

• Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией?

• Дайте определение геометрической прогрессии.

• b n+1= b n * q

• Как проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией?

Проверьте: является ли последовательность арифметической прогрессией

• -2; -4; -6; -8; -10;…
• -13; -3; 13; 23;…

• 4; 8 ;12; 15;…

• Проверьте: является ли последовательно c ть геометрической прогрессией

• 5; 10;20 ; 40;…
• 3;4;8;10;…
• -4;-8;-32;-128;..

Лови ошибку!

Прогрессии

Определение

Арифметическая

Геометрическая

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

a

b

8

Проверь себя!

Прогрессии

Арифметическая

Определение

Геометрическая

Формула n первых членов прогрессии

Сумма n первых членов прогрессии

Свойства

b

a

Вывод

Зная эти формулы, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

а 1

d

10

4

a 6

-2

30

11

43

-2

53

33

Прогрессии в литературе

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из"Евгения Онегина".

... Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...

• ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить...
• ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить...
• ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить...
• ... Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить...

    Ямб - это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

    Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7...

Примеры

Ямб

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Хорей

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

• В романе М .Е.Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 руб. и попросил у бабушки эту сумму взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов был вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия?

НАЗАД, В ИСТОРИЮ!

Понятие числовой последо -вательности возникло и раз- вивалось задолго до соз - дания учения о функциях.

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий

АРХИМЕД (ок. 287–212 гг.

до н.э)

Прогрессии в древности

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.

Древний Египет

Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

Древний Египет

Задача из египетского папируса Ахмеса:

«Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры»

Формула, которой пользовались египтяне:

Англия XVIII век

В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

Арифметическая

Геометрическая

Германия

Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы.

КАРЛ ГАУСС (1777 – 1855)

Решение

1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

Задача легенда

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

Решение задачи - легенды

Дано ; 1 , 2, 4, 8, 16…

n = 64

Ее сумма равна

18 446 744 073 709 551 615

Вывод

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться.

Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Прогрессии в жизни и быту

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.

• № 1 . Студенты должны выложить плиткой мостовую. В 1 день выложили 3 м 2 . Приобретая опыт, студенты каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 2 м 2 больше, чем в предыдущий. Сколько м 2 уложат студенты в 15-ый день?

1день

2день

3день

4день

№ 2 В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест , а в каждом следующем на 2 места больше , чем в предыдущем. Сколько мест в 26-ом ряду?

• № 3 Отдыхающий, следуя совету врача , в первый день загорал 5 минут. А в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 минут. На какой день время пребывания на солнце будет равно 40 минут?

Решение

1.(а 1= 3, d=2 ,а 15- ?)

а 15= а 1+ 14 d =3 + 14*2=31(кв.м)

2.( а 1 =7;d=2 ; а 26 =7+2*25=57)

(Ответ: в 26 ряду 57 мест.)

3.а 1= 5,а n= 40 , d=5 , n= ?

40=5+( n-1)5 , 5n=40 , n=8

.Представьте, что Вы учетчик на стройке. Привезли и выгрузили большое количество бревен строевого леса. Нужно определить, сколько бревен привезли, чтобы закрыть наряд водителям. Как Вы подсчитаете количество привезенных бревен, если их складировали в 20 рядов?

Решение:

a 1 = 1, a 20 = 20. S = ( (1 + 20) : 2) х 20 = 210 бревен.

НАСЛЕДСТВО

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Решение

, получаем:

Применив формулу

Применив формулу

БАКТЕРИИ

Задача 6 ( биология). В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут.

Решение

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем

q =2, n = 7 .

Зная формулу

Получаем

м

• Ежедневно каждый курильщик выкуривает в среднем 10 сигарет. После выкуривания 1 сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина и табачного дегтя. С каждой последующей это количество увеличивается в 2 раза.Сколько грамм никотина осядет в легких за день?

Переменка

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего. Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3 м?

Решение

Составим последовательность чисел

Зная формулу

Значит

Откуда

Вывод: не дойдет!

Блиц-турнир

Под скрип пера о лист бумаги

Заполните сие листы!

Да помогут вам ваши знания!

0, b 2 = 4, b 4 = 9. Найти: b 3 – ? 5)Дано: ( а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ? 6 ) Дано: ( а n ), а 7 = 16, а 9 = 30. Найти: а 8 –? " width="640"

1)Дано: ( а n ), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ?

2)Дано : ( b n ) , b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти : q – ?

3)Дано: ( а n ), а 21 = – 44, а 22 = – 42. Найти: d - ?

4)Дано : ( b n ) , b п 0, b 2 = 4, b 4 = 9. Найти: b 3 – ?

5)Дано: ( а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ?

6 ) Дано: ( а n ), а 7 = 16, а 9 = 30. Найти: а 8 –?

Ответы

1 ) 102 ;

2) 0,5 ;

3) 2;

4) 6 ;

5) – 1,2;

6) 23

Заключение

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг

«Прогрессия — движение вперед».

Домашнее задание

• Подготовить выступления о жизнедеятельности К. Гаусса и Л. Ф. Магницкого.
• Подобрать «исторические» задачи по теме «Прогрессии».
• C оставить задачу, соответствующую реальной жизненной ситуации, которая решалась бы с помощью формул геометрической или арифметической прогрессии.
• Составить кроссворд до 10 слов по теме «Последовательность. Арифметическая прогрессия».

Итог урока

• Сегодня с помощью практических навыков и теоретического материала, мы обобщили и систематизировали знания по этой теме.
• При решении задач развивали логическое мышление.

Каждый ли из вас , уходя с урока, имеет удовлетворение своими знаниями?

• 1 . Результатом своей личной работы считаю , что я … А. разобрался в теории; Б. Научился решать задачи. 2. Что вам не хватало на уроке при решении задач? А. знаний; Б. времени; В. Желания; Г. Решал нормально. 3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке? А. одноклассники; Б. учитель; В. Учебник.