Урок: "Решение квадратных уравнений".

Тема: "Решение квадратных уравнений".

Форма проведения зачёта в динамических парах : (2 заключительных урока в рассмотрении различных способов решения квадратных уравнений).

Цели уроков:

1)Образовательные - систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

2) Развивающие - развивать коммуникативные качества личности через коллективный способ обучения (КСО); формировать учебно–познавательные действия по работе с дополнительными источниками (internet–ресурсы), формировать умение самостоятельно изучать новый материал (рассмотреть приём устного решения квадратного уравнения, который не входит в программу средней школы, где коэффициенты – слишком большие числа, например, такое уравнение: 1999x² - 1997x – 2 = 0).

3) Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике, активности,

мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться.

Оборудование: экран, кодоскоп, набор карточек типа домино для устной работы, магнитная доска, карточки с заданиями на 25 вариантов, табло для подведения итогов урока, таблица с формулами.

План зачёта:

1. Организационный момент.

2. Устная работа - игра „Домино”.

3.Повторение и закрепление материала.

4.Углубление и обобщение знаний, умений, навыков (работа в парах сменного состава).

5.Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

6.Подведение итогов.

7.Домашнее задание.

Ход урока

1.Организационный момент.

• мотивация необходимости изучения данной темы;

• определение целей и задач урока;

• план организации учебной деятельности.

1.Устная работа игра „Домино”.

Учитель: «Уравнения какого вида вам предстоит решить, играя в математическое домино, и с помощью каких теоретических сведений вы сделаете это устно?

	х2 – 7х + 12 = 0	х = 3, х = 4	х2 + 18х + 32 = 0
х = - 16, х = -2	х2 – 5х – 14 = 0	х = -2, х = 7	х2 + 5х + 6 = 0
х = -3, х = -2	х2 – 8х + 12 = 0	х = 2, х = 6	х2 + 5х + 4 = 0
х = -4, х = -1	х2 – 5х – 6 = 0	х = -1, х = 6	х2 – 5х + 4 = 0
х = 1, х = 4	х2 + 7х – 8 = 0	х = -8, х = 1	х2 + 5х –14 =0
х = -7, х = 2	х2 +5х – 6 = 0	х = -6, х = 1

3.Повторение и закрепление материала.

а) Повторение теоретического материла.

Учитель: «С какими видами квадратных уравнений вы ещё познакомились на предыдущих уроках?»

Учащиеся перечисляют. Затем учитель вывешивает следующую таблицу:

1. ax² + bx +c = 0; 1)a(x – x₁)(x – x₂) = 0

2. ax² + 2mx +c = 0; 2)

3. x² + px +g = 0; 3)

4. ax² + bx = 0; 4)

5. ax² + c = 0; 5)x₁ + x₂ = –p и x₁ · x₂ = q

6. ax² = 0; 6)

7. x² +px +q, где p и q – целые числа. 7)ڤ² = r

Учитель: «Установите связь (покажите стрелками) между каждым квадратным уравнением и способами его решения, указанными на таблице, которые на ваш взгляд, являются наиболее рациональными. Свой выбор нужно обосновать».

Проверка производится с помощью кодоскопа.

б). Закрепление теоретического материала.

На доске:

1. x² + 4x – 12 = 0;

2. 3x² – 48 = 0;

3. x² – 3,2x + 1,12 = 0;

4. 2a² – 5a + 2 = 0;

5. 4x² = 7;

6. –4x² – 4x + 15 = 0;

7. 5x² + 10x = 0.

Учитель: «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».

2) 3х² – 48 = 0; 5) 4х² = 7; 7) 5х² + 10х = 0.

Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни уравнений и учащиеся комментируют выбранный способ решения.

Учитель: «Выпишите приведённые квадратные уравнения и решите их».

1) х² + 4х – 12 = 0; 3) х²–3,2х + 1,12 = 0.

Выбранный способ решения аргументируется.

Учитель: «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»

Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски.

4. Углубление и обобщение знаний, умений и навыков. Работа в парах сменного состава.

Применяя КСО, учитель так организует работу, что обучение учащихся осуществляется путем общения в динамических парах. При этом используются такие формы обучения, как коллективная, групповая и индивидуальная.

Сначала каждый учащийся получает карточку с заданием, выполняет его, а затем учитель проверяет и обсуждает работу с учеником. Если учащийся нуждается в помощи, то учитель может её оказать. Так как учитель освобождается от значительной доли фронтальной работы с классом, то это позволяет ему увеличить время для индивидуальной помощи учащимся. На втором этапе ребята обмениваются карточками и начинают работать в диалогических парах. Выполняя задание, каждый учащийся может теперь получить помощь от своего напарника (если в ней нуждается). Затем состав пар меняется, происходит обмен карточками и т. д. Перед работой в парах сменного состава, учитель оговаривает её продолжительность.

На протяжении всего урока ребята отмечают ход своей работы на табло, висящем на доске, и поэтому учитель может контролировать учащихся в течение всего урока и при подведении итогов урока. Табло оформлено на ватмане, в котором напротив каждой фамилии сделаны прорези, куда учащиеся вставляют квадратики, в следующем виде:

№ п/п	Ф.И.	Оценка			Допол. «5»
		«3»	«4»	«5»
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		------	------	------	------
		--▀--	--▀--	------	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		------	------	------	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		--▀--	------	------	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		------	------	------	------
		--▀--	--▀--	------	------
		--▀--	--▀--	--▀--	------
		--▀--	--▀--	------	------

№48(00) стр.18, О.Кутявина «Математический марафон по квадратным уравнениям»

Критерии выставления оценок:

если ученик выполнил задания 3-4 карточек, то оценка ставится «3»,

5 ---------------------------------------«4»,

6----------------------------------------«5».

Карточки для работы в парах сменного состава.

1зад.№42(01);3зад№22(02)

№1.

1. Решите уравнения:

а) 2 +5х–7=0; х₁ = –3,5, х₂ = 1

б) 2 –3х+5=0. действительных корней нет

2.Запишите приведённое квадратное уравнение, если его корни х₁ и х₂ таковы:

_Х1 = 112, х₂ = –5. x² – 107x – 560 = 0.

3
.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№2.

1. Решите уравнения:

а) 4 +4х+1=0; x = –0,5

б) 3 –7х–8=0. х₁ = , х₂ =

2.Уравнение вида ах²+ вх + с = 0, а ≠ 0, называется квадратным. Как вы объясните требование „а ≠0”?

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х² + х)² – 8 (х² + х) + 12 = 0………………………………………………….….-3; -2;1;2.

№3.

1. Решите уравнения:

а) 9 –6х+2=0; действительных корней нет

б) 5 + 7х – 8 = ……………………………………………х₁ = , х₂ =

2. Запишите квадратное уравнение, у которого свободный член равен 6, первый коэффициент равен 1, а второй, равен –12. Как оно называется? ……………….. х² – 12х + 6 =0, приведённое

квадратное уравнение.3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

х⁴ + 7х² – 8 = 0………………………………………………………………..-1;1

№4.

1. Решите уравнения:

а) 7х²– 6х +2=0; действительных корней нет

б) 5х² – 8х…………………………………………………………………….………….х₁ = 2, х₂= -

2
.Запишите неполное квадратное уравнение, которое имело бы такие корни: ????????? х₁=0, х₂= - ……………………………………………………………………. (ax²+bx=0).

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:
(х – 1) (х – 2) (х – 3) = х³ – 14х – 2…………………………………

№5.

1. Решите уравнения:

а) +8z+15=0;………………………………………………………….z₁ = –3, z₂ = –5.

б) 9 +12х+4=0……………………………………………………………………x = – .

2.Впишите вместо пропуска такой коэффициент, чтобы квадратное уравнение

22х²–3,5х+....=0 не имело корней…………………………………………

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№6.

1. Решите уравнения:

а) 9x²–6x–5=0; х₁ = , х₂ =

б) 3x² –5x +4=0. действительных корней нет

2. Разложите на множители многочлен x² –4x –3……………………….x²- 4x -32 = (х–8)(х+4)

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

х⁶ + 28х³ + 27 = 0……………………………………………………………1;3.

№7.

1. Решите уравнения:

а) 6z² +13z +6=0; z₁=– , z₂=–1,5

б) 4x² –20x +25=0. x=2,5

2.Установите знак дискриминанта уравнения (х–2)(х–3)=0, не приводя его к виду

ax² +bx +c=0………………………………………………………………….D0

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х² – 5х + 2)(х² – 5х – 1) = 28……………………………..

№8.

1. Решите уравнения:

а) 4x² +12x +9=0; x = –1,5

б) x² –5x +6=0 x₁=3, x₂=2

2. Изменятся ли корни уравнения 2 x² +5x +7=0, если у него изменить знак:

• одного коэффициента; да

• трёх коэффициентов; нет

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№9.

1. Решите уравнения:

а) 25x² –10x +1=0; x=

б) x² –3x –4=0. x₁=4, x₂=–1

2.Впишите вместо пропусков такие коэффициенты, чтобы квадратное уравнение

… x² + 4x +…= 0 не имело корней

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

3х⁴ – 10х² + 3 = 0………………………………………………

№10.

1. Решите уравнения:

а) 16 x² –24x +9=0; x=

б) 3 x² +12x –16=0. х₁ = , х₂ =

2. Запишите квадратное уравнение, у которого с=0, b=0.

Как оно называется? Найдите его корни. ax²=0, неполное квадратное уравнение, х=0

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№11

1. Решите уравнения:

а) 9 +30х+25=0; x = –

б) 8 – 6х +1 = 0 x₁ = , x₂ =

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, корни которого будут иметь разные знаки, а модуль большего корня будет в три раз меньше модуля другого корня.

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

х⁴ – 6х² + 5 = 0…………………………………………………

№12

1. Решите уравнения:

а) 4 +4х–3=0; x₁=–1,5 , x₂=0,5

б) 3 –5х+7=0 действительных корней нет

2. При каком значении с квадратное уравнение 3 –8х–с=0 имеет равные корни? с= –5

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№13

1. Решите уравнения:

а) 5 –26х+5=0; x₁=5, x₂=

б) 3 +5х+3=0 действительных корней нет

2.При каком значении а уравнение а –15х–7=0 будет иметь корень, равный 7? а=2

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(1 – у²)² + 7(1 – у²) +12 = 0…………………………………………. .

№14

1. Решите уравнения:

а) 4х²–2х–3=0; x₁= , x₂=

б) 6х²–5х–1=0 x₁=1, x₂= –

2. Как узнать, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько? Обязательно ли для этого решать уравнение?

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

х⁴ - 4х² – 45 = 0…………………………………………………………….-3; 3.

№15

1. Решите уравнения:

а) 4х²–8х–1=0; x₁= , x₂=

б) 5х²–6х+1=0 x₁ =1, x₂ =

2. Найдите число, квадрат которого равен этому удвоенному числу. 2; 0

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х – 5)⁴ + (х – 5)² – 20 = 0……………………………………………..-2; 2.

№16.

1. Решите уравнения:

а). 9 x² –3x –4=0; x₁= , x₂=

б). x² –x –72=0 x₁= 9, x₂= –8

2. Известно, что один из корней квадратного уравнения равен 5. Что ещё вам достаточно узнать о квадратном уравнении, чтобы найти его второй корень?

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

9х⁴ – 106х² +225 = 0……………………………………………………………….

№17.

1. Решите уравнения:

а) 3 x² +4x –1=0; x₁= , x₂=

б) x² –3x +5=0 действительных корней нет

2. Какая тройка чисел задаёт неполное квадратное уравнение?

1) (9; 3; –5)

2) (– ; 0; 4)

3) (2,3; 7,1; 5,6)

вторая

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х – 3)² + (х + 4)² – (х – 5)² = 17х + 24………………………………………………….….-3; 8.

№18.

1. Решите уравнения:

а) x² +5x –6=0; x₁= 1, x₂= –6

б) 5 x² –6x +2=0. действительных корней нет

2. Какие из следующих трёхчленов можно разложить на множители, а какие нельзя? Поможет ли ответить на этот вопрос понятие дискриминанта?

1. x² –5x +6

2. 4x² –4x +11

3. x² –8x +23

можно разложить только первый.

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№19.

1. Решите уравнения:

а) 7 x² –4x +4=0; действительных корней нет

б) 3 x² +7x +2=0. x₁= - , x₂ = –2

2. Разложите трёхчлен 4x² –12x +9 на множители………………………4x²-12x+9 = 4(х – 1,5)²

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х² + 2х)² – (х + 1)² = 55…………………………………………………….………-4; 2.

№20.

1. Решите уравнения:

а) 9x² –12x +4=0; x =

б) x² –3x –10=0;. x₁ = 5, x₂ = –2

2. Привести пример неполного квадратного уравнения, не имеющего действительных корней.

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№21

1.Решите уравнения:

а) х²+2х–15=0. x₁ =3, x₂ = –5

б) 2х²–8х–2=0. x₁=2+ , x₂=2–

2.Приведите пример неполного квадратного уравнения, имеющего два совпадающих корня.

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х² – 5х)² + 10(х² – 5х) + 24 = 0………………………………………………1;2;3;4.

№22

1.Решите уравнения:

а)15х²+3х–5=0; x₁= , x₂=

б) х²+4х–10=0 x₁=2, x₂= –10

2.Что можно сказать о коэффициентах равносильных квадратных уравнений?

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

16х⁴ - 24х² + 9 = 0……………………………………………….

№23

1.Решите уравнения:

а) х²–6х+7=0; x₁=3+ , x₂=3–

б)3х²+4х+2=0 действительных корней нет

2.Разложите на множители многочлен 3х²–11х+10. 3x² – 11x + 10 = (3x–5)(x–2)

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

№ 24

1. Решите уравнения:

а) х²–10х+25=0; x=5

б) 2х²–5х+3=0. x₁=1,5 , x₂=1

2. Выберите равносильные уравнения.

а) х²– 6х+7=0;

б) 2х² – 8х – 2=0;

в) х²–4х +1=0;

г) 5х²–30х +35=0.

а, г

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

(х² – 5х + 7)² – (х² - 5х +6) = 1……………………………………………………………..2; 3.

№25

1. Решите уравнения:

а) 3х²–5х–2=0; x₁=2; x₂= –

б) х²–6х–16=0. x₁=8, x₂= –2

2. Сколько корней имеет каждое уравнение?

а) 7х²–4х+5=0; 0

б) 2х²–3х+1=0; 2

в) х²–10х+25=0. 1 (два совпадающих)

3.Решите уравнение, сводящееся к квадратному:

5.Знакомство с приёмом устного решения квадратных уравнений.

Учитель: тем учащимся, которые выполнили задания по карточкам на оценку «5», сейчас будет предложена «хитренькая» табличка, по которой вы самостоятельно научитесь устно решать квадратные уравнения, например, такое уравнение: 1999х² - 1997х - 2 = 0 и поделитесь своими знаниями с остальными ребятами на следующем уроке.

Набор табличек оформлен следующим образом:

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах² + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим эти свойства:(док-во этих свойств в №42(01) стр.30)

1)Если a + в +с = 0, то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Например: 5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/2.

2)Если а - в +с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - с/а.

Например: 4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

3)Если а в +с 0, то можно устно решить другое уравнение: х² + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х² – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х² – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2.

Тогда х₁ = , х₂ = 5.

Ответ: ; 5.

в) 6х² –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х² – 17х - 18 = 0. Его корни (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х₁ = - , х₂ = .

Ответ: - ; .

Задания даются в двух вариантах, потому что их решают далеко не все учащиеся. Проверяются эти задания учителем тут же на уроке, так как учитель освобождается от значительной доли фронтальной работы с классом (остальные учащиеся работают в это время в парах сменного состава), это позволяет учителю увеличить время для индивидуальной работы с учащимся. За эти задания учащимся ставится дополнительная оценка „5”.

Решите двумя способами уравнения:

I вариант. II вариант.

1) 14х² – 17х + 3 = 0 1) 13х² – 18х + 5 = 0

2) х² – 39х - 40 = 0 2)х² + 23х - 24 = 0

3)100х² – 83х - 18 3= 0 3)100 х² + 97х - 197 = 0

Подведение итогов

Учитель, подводя итоги урока, еще раз обращает внимание на правильность выбора способа решения квадратных уравнений; указывает на наиболее распространенные ошибки; оценивает работу каждого ученика с учетом результатов, отраженных на табло; ставит задачи на следующие уроки.

1. Домашнее задание.

Самостоятельная работа по вариантам (два варианта), взятым на сайте по адресу:

http://archiv.1september.ru/mat/2001/42/no42 01.htm

Анализ урока.

Урок достиг поставленных целей, если учащиеся:

1. умеют определять вид квадратного уравнения и выбирать рациональный способ решения;

2. умеют определять, имеет ли квадратное уравнение корни и их количество, не решая само уравнение;

3. могут найти ошибку в своем решении или в решении другого ученика и исправить ее; правильно оценить результаты своей деятельности;

4. могут объяснить и аргументировать свои действия учащимся всего класса;

5. осознают значимость учебного материала урока.