Урок в 10 классе: "Параллельность прямых и плоскостей"

Урок по теме: «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

Аксиомы группы С.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С

D

А

К

B

Аксиомы группы С.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

с

С

Аксиомы группы С.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

С

b

a

m

Следствия из аксиом

М



Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Т 1

m

Следствия из аксиом

В

А



Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости

Следствия из аксиом

В

А

М



Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

m

к

Следствие из Т 1

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна.



Вывод

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

Способы задания плоскостей

Рисунок

1. По трем точкам

2. По прямой и не принадлежащей ей точке.

3. По двум пересекающимся прямым.

4. По двум параллельным прямым.

Ответьте на вопросы

• Сколько существует способов задания плоскости?
• Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

а)

б)

в)

е)

г)

д)

Определите: верно, ли утверждение?

Да

1. Любые три точки лежат в одной плоскости.

2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости.

3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.

4. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.

5. 5 точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие–нибудь 4 из них лежать на одной прямой?

6. Через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата?

Нет

Нет

Да

Нет

Да

Дано: АВСD-параллелограмм

А, В, С  α

Доказать: D  α

Доказательство:

А, В  АВ , С,D  СD,

В

С

•

•

АВ  СD

(по определению параллелограмма) 

•

•

А

АВ, СD  α 

D

D  α

Взаимное расположение прямых в пространстве.

параллельны

пересекаются

Лежат в одной плоскости

b

b

а

а

Не лежат в одной плоскости

b

а

скрещиваются

Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны

α

в

•

В

в 1

Доказательство:

а



1 случай. а, в, с  α рассмотрен в планиметрии

β

с

2 случай. а, в  α; а, с  β

1. Возьмем т.В, В  в

Через т.В и с проведем плоскость 

  α = в 1

2. Если в 1  β = Х,  Х  а , в 1  α,

но Х  с , т.к. в 1   , а т.к. а  с  в 1  β

3. в 1  α, в 1  а  в 1  а  в 1 = в (А параллельных прямых )

4.  в  с

Теорема доказана.

Теорема о параллельных прямых.

Дано: К  a

Доказать:

 ! b: К  b, b  a

a

Доказательство:

1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α.

К

b

2.Проведем через т. К  α прямую b , b  a .(А планиметрии )

Единственность (от противного)

1.Пусть  b 1 : К  b 1 , b 1  a .Через прямые a и b 1 можно провести плоскость α 1 .

2. a , К  α 1 ;  α 1 и α ( Т о точке и прямой в пространстве ).

3.  b = b 1 (А параллельных прямых ). Теорема доказана.

Задание 1 Вставьте пропущенные слова

• Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на одной прямой.

2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую

4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.

5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке

В

не лежат

две

прямую

параллельными

лежат

скрещивающиеся

α, то прямые а и b

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?

1. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.

2. Если прямые не пересекаются, то они параллельны.

3. Прямая m параллельна прямой n, прямая m параллельна плоскости α. Прямая n параллельна плоскости α.

4. Все прямые пересекающие стороны треугольника лежат в одной плоскости.

5. Прямая АВ и точки С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и СD пересекаться?

Нет

Нет

Да

Да

Нет

Задание 2 Определите: верно, ли утверждение?

6. Прямые АВ и СD пересекаются. Могут ли прямые АС и ВD быть скрещивающимися?

7. Прямые а и в не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с , параллельную прямым а и в ?

8. Прямая а , параллельная прямой в, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой в. Может ли прямая с лежать в плоскости α?

9. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли на плоскости α прямые, непараллельные а?

Нет

Нет

Нет

Да

Задание 3

Дано: ВС=АС,

СС 1  АА 1 ,

АА 1 =22 см

Найти: СС 1

Решение:

А

АС = ВС

АА 1  СС 1 ,

 С 1 – середина А 1 В

(по т.Фалеса) 

С

А 1

В

С 1

С С 1 - средняя линия ∆АА 1 В 

α

С С 1 = 0,5АА 1 = 11 см

Ответ: 11см.

с

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

a

К



b

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,

параллельна какой-нибудь прямой,

лежащей в этой плоскости , то

она параллельна и самой плоскости.

Доказать:

Дано:

Пусть , ,

1.Через прямые a и b проведем плоскость α

α

2 . α  β = b

Если a  β = Х, то Х  b, это невозможно, т.к. α  b

 a  β

 a  β

Теорема доказана.

Задание 2

β

Дано: а  α

а  β; β ∩ α = в

Доказать: а  в

а

α

в

Доказательство:

а, в  β

Пусть в ∩ а , тогда а ∩ α,

что противоречит условию.

Значит в  а

Плоскость проходит через сторону АС  АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE  α

Доказательство:

1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 

В

D

2. DE – средняя линия (по определению) 

DE  АС (по свойству)

E

A

А.П. Ершова, В.В. Голобородько «Математика. Самостоятельные и контрольные работы. Геометрия 10 класс»

С

 DE  α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)

Расположение плоскостей в пространстве.

α и β совпадают

α  β

α  β

Признак параллельности двух плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной

плоскости соответственно параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости, то эти

плоскости параллельны.

Дано: а  b = M, a   , b   .

a₁  b₁, a₁   , b₁   . a  a₁, b  b₁.

а

M

Доказать:   

b

c



Доказательство:

а ₁

1. Пусть    = с.

b ₁



Тогда а   , а   ,    = с , значит а  с .

2. b   , b   ,    = с , значит b  с .

3. Имеем, что через точку М проходят две прямые а и b , параллельные прямой с , чего быть на может.

Значит    .

Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, причём единственную.

Дано:

плоскость α,

точка А вне плоскости α.

А

•

существует плоскость β ║ α, проходящая через точку А

Доказать:

а 1

в 1

β

а

в

α

Доказательство.

1. В плоскости α проведём прямые а ∩ в.

Через точку А проведём

а 1 ║ а

и в 1 ║ в.

По признаку параллельности плоскостей прямые а 1 и в 1 задают плоскость β ║ α.

Существование плоскости β доказано.

Докажем единственность плоскости β методом от противного.

Допустим, что существует плоскость β 1 , которая проходит через т. А и β 1  α.

С

•

А

а

•

Отметим в плоскости β 1 т. С  β.

β 1

β

с

Отметим произвольную т. В  α.



Через точки А, В и С проведем γ.

В

в

•

γ ∩ α = в,

γ ∩ β 1 = с.

γ ∩ β = а,

α

а и с не пересекают плоскость α,

значит они не пересекают прямую в,

 а  в и с  в

Получили, что через т. А проходят две прямые, параллельные прямой в , чего быть не может.

 наше предположение ложное.

Единственность β доказана.

Свойство параллельных плоскостей.

Если две параллельные плоскости

пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

а

Дано:

α  β, α   = a

β   = b

Доказать: a  b

Доказательство:

1. a   , b  

b

2. Пусть a  b ,

тогда a  b = М

3. M  α, M  β

 α  β = с (А 2 )

Получили противоречие с условием.

Значит a  b ч. т.д.

Свойство параллельных плоскостей.

Отрезки параллельных прямых,

заключенные между параллельными

плоскостями, равны.

С

Дано:

α  β, АВ  СD

АВ  α = А, АВ  β = В,

СD  α = С, СD  β = D

А

Доказать: АВ = СD

Доказательство:

1. Через АВ  СD проведем 

D

2. α  β, α   = a , β   = b

В

3.  АС  В D,

4. АВ  СD (как отрезки парал. прямых)

5.  АВСД – параллелограмм (по опр.)

 АВ = СD ( по свойству параллелограмма)

Определите: верно, ли утверждение?

ДА

1. если плоскости не пересекаются, то они параллельны.

2. плоскости параллельны, если прямая лежащая в

одной плоскости, параллельна другой плоскости?

3. если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости,

то эти плоскости параллельны?

4. если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она

перпендикулярна и другой плоскости.

5. прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны.

6. Если прямая пересекает одну из двух плоскостей, то

она пересекает и другую.

7. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.

8. Отрезки прямых, заключенные между

параллельными плоскостями, равны.

НЕТ

НЕТ

ДА

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

Через данную точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости α, не проходящей через точку.

Решение.

1. В плоскости α возьмем т. В.

2. Проведем прямые ВС и ВD.

3. Построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВD, в ней проведем прямую АD 1  ВD.

А

С 1

•

D 1

β

4. Аналогично построим вспомогательную плоскость через точку А и прямую ВС, в ней проведем прямую АС 1  ВС.

В

•

С

D

α

5. Через прямые АD 1 и АС 1 проведем плоскость β

Задача 2. Доказать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.

.

Доказательство:

в

А

Пусть а скрещивается с в.

в 1

На прямой в возьмем т. А,

через прямую а и т. А проведем плоскость,

в этой плоскости через т. А проведем прямую в 1 , в 1  в.

.

Через в 1  в проведем плоскость α.

а

Аналогично строим плоскость β.

По признаку параллельности плоскостей α  β.