Урок взаимосвязь пирамиды с шаром

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Г. Галилей.

Тема: «Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар»

Урок: «Комбинация шара с пирамидой»

Организационный момент

Устная работа

Из фигур выбрать 1) те, около которых можно описать окружность;

2) те, в которые можно вписать окружность;

3) И если можно, укажите где находятся центры окружностей.

Выступление эксперта 1 группы

Шар описанный около правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

• «шар, описанный около пирамиды»

( слайды №2 - №12 ).

О 2 – центр шара

О 2 А=О 2 С=О 2 С 1 =…

=О 2 Д= R

В 1

С 1

О 1

А 1

Д 1

О

R

О 2

В

С

О 1

О

А

Д

О

О 1

Шар описанный около правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

О 2 – центр шара

О 2 А=О 2 С=О 2 С 1 =…

=О 2 Д= R

В 1

С 1

О 1

А 1

Д 1

R

О 2

В

С

О

А

Д

Выступление эксперта 2 группы

В правильную усечённую пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

• «шар, вписанный в пирамиду»

( слайд №13 -№20)

MN = ON + O 2 M

Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

С 1

В 1

О 2

М

А 1

Д 1

r

r

О 1

О 1

r

α

В

α

О

С

N

О

Д

А

Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

О 1

α

α

О

В правильную усечённую пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.

MN = ON + O 2 M

С 1

В 1

О 2

М

А 1

Д 1

r

r

О 1

r

В

С

О

N

Д

А

Тест №1

В пирамиду можно вписать шар:

+ или -

Боковые грани равнонаклонены к основанию

Двугранные углы при основании равны

Основание пирамиды – прямоугольный треугольник

Боковая грань перпендикулярна к основанию

Правильная пирамида

Около пирамиды можно описать шар

+ или -

Боковые ребра равны

Боковые ребра равнонаклонены к основанию

Основания пирамиды – тупоугольный треугольник

Боковое ребро перпендикулярно к основанию

Правильная пирамида

Проверка теста №1

В пирамиду можно вписать шар

Боковые грани равнонаклонены к основанию

Двугранные углы при основании равны

+

Основание пирамиды –прямоугольный треугольник

+

+

Боковая грань перпендикулярна к основанию

-

Правильная пирамида

Около пирамиды можно описать шар

+

Боковые рёбра равны

+

Боковые рёбра равнонаклонены к основанию

Основание пирамиды – тупоугольный треугольник

+

Боковое ребро перпендикулярно основанию

+

-

Правильная пирамида

+

В пирамиду можно вписать шар

Боковые грани равнонаклонены к основанию

+

Двугранные углы при основании равны

+

Основание пирамиды –прямоугольный треугольник

+

Боковая грань перпендикулярна к основанию

-

Правильная пирамида

Около пирамиды можно описать шар

+

Боковые рёбра равны

+

Боковые рёбра равнонаклонены к основанию

+

Основание пирамиды – тупоугольный треугольник

+

Боковое ребро перпендикулярно основанию

-

Правильная пирамида

+

Решение задачи ЕГЭ

Задача: Для правильного тетраэдра со стороной а

• доказать, что центры описанного и вписанного шаров совпадают;
• Найти радиус вписанного шара;
• Найти радиус описанного шара;
• Найти объём тетраэдра.

Правильность построения правильного тетраэдра:

Вывод решения задачи:

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР

r = H / 4

R = 3 H / 4

R = 3 r

R

H

r

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР

r = H / 4

R = 3 H / 4

R = 3 r

R

H

r

Тест №2

• Постройте центр описанного шара:

• Постройте центр вписанного шара:

ПРОВЕРКА ТЕСТА № 2 Построить центр описанного шара

Построить центр описанного шара

Построить центр описанного шара

В

S

М

1.

2.

О 1

О 1

О 1

С

Д

С

В

С

Е

В

О

О

О

А

Д

А

Д

А

F

ПРОВЕРКА ТЕСТА № 2 Построить центр описанного шара

В

1.

О 1

С

О

Д

А

Построить центр описанного шара

М

2.

О 1

В

С

О

А

Д

Построить центр описанного шара

S

О 1

Д

С

В

Е

О

А

F

Построить центр вписанного шара

Построить центр вписанного шара

Построить центр вписанного шара

S

S

Д

3.

В

О 1

О 1

О 1

В

С

Д

С

В

О

О

Е

О

Д

А

А

С

А

F

Построить центр вписанного шара

Д

В

О 1

О

С

А

Построить центр вписанного шара

S

О 1

В

С

О

Д

А

Построить центр вписанного шара

S

3.

О 1

Д

С

В

О

Е

А

F

ИТОГ УРОКА:

СПАСИБО ЗА УРОК!

СПАСИБО ЗА УРОК!