Устный журнал "Жизнь Пифагора"

- 1 -

Цель мероприятия: познакомить учащихся с жизнью и творчеством Пифагора Самосского; расширить кругозор учащихся; развивать интерес к математике.

План

1. Остров Самос — родина Пифагора.

2. Годы странствий. Египет.

3. Вавилонский плен и вавилонская мудрость.

4. Кротон. Пифагорейское братство.

5. Пифагор и его учение о числе.

6. Пифагоровы тройки.

7. Игра «Пифагорейская школа».

Математическое вступление

Пусть в памяти твоей воскреснет Архимед,

Сраженный за великие творенья.

Пусть вспомниться известный вам Виет,

Открывший формулу для уравненья.

Тебе знаком талантливый Декарт –

Систем координат создатель.

Ты знаешь Лобачевского, он русский брат,

Коперник геометрии, творец, ваятель.

Велик и ныне Чебышев – титан,

А Софья Ковалевская – чудесная «русалка»!

Талант могучий был им дан,

Дана была им гениальная смекалка.

Творцы великих мыслей и идей,

Какие род людской вынашивал столетья.

Пройдя сквозь бури трудных дней,

Переживут уже тысячелетья.

Запомни то, что Гаусс всем сказал:

«Наука математика – царица всех наук».

Не зря поэтому он завещал –

Творить в огне трудов и мук.

Безмерна роль ее в открытии законов,

В создании машин, воздушных кораблей.

Пожалуй, трудно нам пришлось без Ньютонов,

Каких дала история до наших дней.

Пусть ты не станешь Пифагором,

Каким хотел бы может быть!

Но будешь офицером ты, ученым

И будешь честно Родине служить.

- 2 -

Вступительное слово учителя. В стихотворении прозвучали имена многих известных вам математиков. Сегодня мы остановимся только на одном. Пифагор (VI в. до н. э.) не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность, человек-символ, человек-фантом, философ и пророк.

Пифагор воспитал в человечестве веру в могущество разума, убежденность в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.

Один из историков сказал, что начинать писать о Пифагоре просто страшно. Перед глазами предстает пустыня, по которой разбросаны горстки развалин. Кому принадлежат эти развалины — очертания отживших цивилизаций?

Правда, надо сказать, что античные авторы наперебой рассказывали о Пифагоре. За 1000 лет античной истории имя Пифагора обросло таким количеством легенд, что в одно время Пифагор стал почитаться полубогом.

В выступлениях учащихся 10-го класса вы услышите несколько легенд и историй из жизни Пифагора, об его отношении к науке о числах.

Первая страница журнала

Остров Самос — родина Пифагора

1-й ученик. Около 570 г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор. По многим античным свидетельствам мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и незаурядные способности. Отцом Пифагора был Мнесарх — резчик по драгоценным камням. Бытует легенда, что он вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты и подарил его Поликрату. Египетский фараон Амасис, состоявший в дружеских отношениях с Поликратом и встревоженный его величием, написал: «...твои великие успехи не радуют меня, так как я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Ведь мне не приходилось слышать еще ни об одном человеке, кому бы все удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета, теперь и ради своего счастья, поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеряй то, что может больше всего огорчить тебя. Эту-то вещь ты закинь так, чтобы она не попалась никому в руки. И, если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету».

Поликрат нашел совет Амасиса мудрым. Посадив людей на 50-весельный корабль, он сам поднялся на борт и приказал выйти в море. Когда корабль отошел далеко от острова, Поликрат

- 3 -

снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил его в море. После этого, отплыл назад и, опечаленный потерей, возвратился во дворец.

Спустя 5 или 6 дней какой-то моряк поймал большую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Когда желание рыбака было исполнено, он подал Поликрату рыбу со словами: «Царь! Поймав эту рыбу, я не захотел ее нести на рынок, хотя и живу от трудов своих. Я решил, что она достойна тебя и твоего царства, поэтому я приношу ее тебе в дар».

Обрадовавшись таким словам, Поликрат ответил: «Ты поступил прекрасно, я благодарю тебя вдвойне за речь и за подарок, и приглашаю тебя на обед».

Слуги выпотрошили рыбу и нашли в брюхе этот Поликратов перстень. Увидев его, Поликрат понял, что это божественное знамение, и написал послание в Египет Амасису.

Амасис убедился, что ни один человек не сможет уберечь другого от предреченной ему участи и что Поликрат не кончит добром. Пророчество сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса и зверски убили его.

Это случилось примерно через 7 лет после того, как Пифагор, протестуя против жестокостей Поликрата, навсегда покинул родной Самос и переселился в Кротон.

2-й ученик. Имя матери Пифагора не сохранилась. Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея — основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына.

Многие, имея на то все основания, считают, что Пифагор — это не имя, а прозвище, поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как дельфийская Пифия.

Существует другая версия. Один самосский поэт уверял, что истинным отцом Пифагора является не Мнесарх, а сам бог Аполлон. Поскольку бог Аполлон после победы над змеем Пифоном получил прозвище Аполлон Пифий, то «Пифовещатель превращается в Аполлоновещателя или уста Аполлона», как иногда переводят имя Пифагора. Со временем, развивая эту версию, в античной литературе Пифагора стали называть «устами Аполлона» и представлять его сыном лучезарного покровителя искусств Аполлона.

Версия о том, что Пифагор — это не имя собственное, прозвище, представляется наиболее правдоподобной.

- 4 -

3-й ученик. Хочется остановить ваше внимание на второй букве имени Пифагора (греческая — ипсилон, латинская — игрек, старославянская — ижица). Ипсилон называли философской, или пифагоровой буквой, а ее правую и левую ветви — Самосскими ветвями. Эта буква называлась также виловатым крестом, который являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. Правая ветвь изображалась прямой, идущей вверх, и символизировала добродетель, а левая — кривой, загибающейся к низу, и означала порок. Вплоть до средних веков было распространено выражение: «По пифагоровой букве выбрать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей.

Эта буква в чистом виде нашла отражение в гербе старинного русского города Саратова. Три серебряного цвета стерляди, символизирующие богатство волжского края рыбой, образуют пифагорову букву. Полагают, что число геральдических рыб на гербе Саратова (рыба издавна является христианским символом) равнялось числу монастырей в городе, которые по праву считались форпостом обороны, культуры и духовного богатства города. Расположение рыб в форме философской буквы должно было напоминать горожанам о выборе достойного, правого пути на ежедневных жизненных перепутьях.

4-й ученик. Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского.

Гермодамант — потомок рода эпических певцов на Самосе, которые странствовали по всей Элладе и под аккомпанемент кифары исполняли народные предания и поэмы Гомера. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца, внимая мелодии кифары и поэзии Гомера. Страсть к музыке и поэзии Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженный толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство знаменитому тезису: «Все есть число».

Другой его учитель — Ферекид Сиросский. И как о всяком мудреце, о нем рассказывают много удивительного. Будто однажды, прогуливаясь по Самосу, Ферекид увидел корабль под парусом и сказал, что он сейчас потонет, и корабль утонул у всех на глазах.

Будто, отведав воды из колодца, он сказал, что на третий день случится землетрясение, и оно случилось. Но если отбросить легенды, то Ферекид был философом и вслед за Питтаком считался основателем италлийской школы философии. Третьим в цепи италлийских философов стал Пифагор. Именно Ферекид направил взор Пифагора к природе, и в ней одной велел видеть своего первого и главного учителя.

- 5 -

Страница вторая

Годы странствий. Египет.

5-й ученик. Пифагор отправился путешествовать. По словам его учителя, «Путешествие и память — суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости».

Возраст двадцатилетнего юноши для Пифагора заканчивался. Следовало выбирать свою дорогу в жизни и науках. Пифагор принимает решение и отправляется в Египет. Пифагор имел рекомендательные письма от тирана Поликрата к египетскому фараону Амасису. Три дня и три ночи, которые заняло плавание, Пифагор молча просидел на корабельной скамье. Он не менял позы, не принимал ни воды, ни пищи и не заснул ни на мгновение. Перед Пифагором открывалась неизвестная страна и неведомая культура. Древний Египет был страной высокой грамотности. Необозримое количество текстов в погребальных камерах пирамид и гробниц, рельефов на стенах и колоннах дворцов и храмов, записей на хрупких листах папируса сохранились до наших дней. Чтобы написать, все это, в древнем Египте существовала целая армия писцов, прекрасно организованная и великолепно обученная. Каждый писец был не просто чертежником иероглифов, он был художником.

Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки и возмужалый эллин с черной кудрявой бородой. Очень быстро Пифагор обогнал своих однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к таинствам знаний. Далее нужно было войти в греческий храм, который был государством в государстве. Надо было окончить особую храмовую школу, досконально изучить египетскую мифологию, образцы Пантеона богов, их эпитеты и атрибуты, их разветвленную родословную. Нужно было пройти через обряды мистерии, выдержать испытания духа и проверку знаний. Тогда только открывалась дорога в высший храмовый институт - «Дом жизни».

«Дом жизни» был собранием ученых, жрецов и мудрецов. «Дом жизни» — это мозг интеллектуальной жизни Древнего Египта, ее память, разум и действие. В библиотеке «Дома жизни» хранилась тысячелетняя история Древнего Египта.

Наконец, Пифагор почувствовал себя готовым к осуществлению главной цели своего путешествия — поездке в святая святых жреческой мудрости город Мемфис. В путь двинулись во время разлива Нила, когда весь Египет покрывала вода, и лишь города возвышались над ней, будто острова в Египетском море.

- 6 -

Несмотря на рекомендательное письмо от самого Амасиса, жрецы не спешили открывать свои тайны. Наоборот, они пыта-

лись отпугнуть Пифагора безмерными тяготами, назначали ему трудные и противные испытания, но в конце концов, его настойчивость победила. Двери мемфиских храмов открылись перед ним. Лес гигантских каменных колонн был настолько чистым, что казалось, будто они сходятся друг к другу, чтобы раздавить пришельца. И стены, и колонны были испещрены множеством рисунков, знаков, иероглифов, разобраться в которых было выше человеческих сил. Чаще других попадались изображения мужчин с головой ибиса и палочкой писца в руке. Это был бог Тот — создатель и покровитель египетской мудрости. Тот разделил время на месяцы и годы, создал письменность и научил людей письму и счету, написал священные книги, в том числе и знаменитую «Книгу мертвых». Под покровительством Тота находились все архивы и огромная библиотека.

Незаметно храм переходил в подземелье, свет мерк, и человек из белого солнца египетской пустыни погружался во тьму безвременья.

Темный коридор подземелья упирался в статую Исиды, сидящей в глубоком раздумье с закрытой книгой на коленях. «Смертному не дано поднять моего покрывала», — гласила надпись у ее ног. Рядом скрывалась еле заметная дверь.

«Подумай, ты еще можешь вернуться», — сказал ему жрец. Многие нищие духом ступали за эту дверь, но никто из них не вернулся. Пифагор молча шагнул в темноту, и дверь Исиды захлопнулась за ним. Потоки густой черноты обрушились на вошедшего, и непонятно было, стоит ли он на земле, или парит в черном бесконечном пространстве.

«Здесь погибают безумцы, возжелавшие тайного знания», — троекратно повторило эхо округлого зала чей-то вкрадчивый скрипучий голос.

Пифагора не покидало ощущение, что чьи-то глаза следят за ним из ниш лабиринта.

В черной бесконечности зала Пифагор разглядел слабые отблески огня. Он инстинктивно двинулся на чуть заметные блики, и через несколько десятков шагов ощутил холод стены зала, а затем различил и нишу, откуда они шли. Ниша переходила в извилистый коридор, с каждым поворотом которого свет все усиливался. Наконец, коридор распрямился, и его дальний конец замыкала сплошная стена огня. Вперед пути не было, но не было пути и назад. Обратной дороги не было, и Пифагор прыгнул сквозь обруч пламени. По ту сторону стояли два помощника верховного жреца и знаком пригласили следовать за ними. Вновь они шли темными закоулками, лабиринтами, и вновь он оканчивался круглый залом, но к величайшему удив-

- 7 -

лению Пифагора, над головой он увидел не беспроглядную темень, а серебряный блеск ночных звезд. Пифагору объяснили, что ему надлежит три ночи провести под сводами ночного неба; каждое утро с первыми проблесками рассвета он возвращался назад в подземную галерею, где его ждала чаша с водой и легкая пища. Три дня и три ночи промелькнули, как падающая звезда.

Желая узнать, чему научился Пифагор в Египте, ученые попали в нелегкую ситуацию. Ничего неизвестно о египетской математике времен Пифагора, ничего неизвестно об этом в сочинениях Пифагора. Все это напоминает сказку: пойти туда, не зная куда, принести то, не знаю что. И, тем не менее, можно сказать, что греческая математика избрала свой путь.

Но вот что Пифагор в избытке заимствовал у египетских жрецов, так это всякого рода мистики, пристрастия к таинствам, священнодействиям магии чисел и т. д. Можно с уверенностью сказать, что вся числовая магия, пышным букетом расцветшая в средневековой Европе, имела своим «крестным отцом» Пифагора.

Долгое пребывание в атмосфере таинства оставило свой отпечаток в сознании Пифагора. Пора ученичества подходила к концу. Возможно, неудовлетворенность бездоказанностью египетской математики ускорила окончательное решение Пифагора возвратиться на родину. Нужно было ехать домой и создавать свою школу, в которой ясность логики и твердость доказательства стали бы главным строительным материалом. Жрецы неохотно открывали двери своих храмов, но еще крепче закрывали их перед входящими. Через 11 лет пребывания в Египте Пифагору удалось выбраться из цепких жреческих объятий.

Страница третья

Вавилонский плен и вавилонская мудрость

6-й ученик. 12 октября 539 г. до н. э. Пал Вавилон. Вряд ли стоит драматизировать вавилонский плен Пифагора. В те времена, если пленник не являлся властелином порабощенной державы, а был умным ремесленником или мудрым мыслителем, находил свое место под солнцем.

Вавилонская наука была значительно более развита, нежели египетская. Вавилонскую математику отличает, прежде всего, высокоразвитое вычислительное искусство, хотя и в математике Вавилона не обнаруживались хоть какие-то намеки на то, что мы называем доказательством.

- 8 -

Вавилонский плен длился б лет. Либо надо было оставаться в роли вечного ученика, либо следовало сделать последнюю попытку вырваться на самостоятельную дорогу в жизни. Пифагор выбрал второе.

Поликрат поспешил всячески обласкать знаменитого путешественника, слава о мудрости которого бежала впереди него. Пифагор не спешил принимать милости Поликрата. Роль придворного полураба, пусть и украшенного лаврами, никак не устраивала его, Пифагор не мог жить рядом с источником несчастий своих сограждан. Он удалился за город и для своих занятий избрал пещеру в окрестностях Самоса.

Страница четвертая

Кротон. Пифагорейское братство

7-й ученик. Того, что долгие двадцать лет скитаний он мечтал обрести, на родине не было, и Пифагор принимает решение переселиться в Кротон. Здесь начинается самый славный период его биографии. Кротон был древнейшей ахейской колонией на юге Аппенинского полуострова. Предание рассказывает, что часть ахейцев, возвратившихся с троянской войны, была занесена в эти края. Ахейцы вылезли осмотреть незнакомый берег. Плывшие с ними троянские женщины, измотанные бурей, завидев наконец уютные берега, сожгли покинутые мужчинами корабли. Выбора не было, пришлось обосновываться на новом месте, благо земля оказалась на диво плодородной. За первыми поселениями потянулись и другие. Так возник Кротон и еще множество колоний на юге Италии.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно - этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Основу пифагорейского союза составили многочисленные братства орфиков. Орфики были близки Пифагору по духу, и он сумел объединить их в единый религиозно-политический союз. Союз быстро завоевал в Кротоне широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни полиса. Феноменальная популярность Пифагора в Кротоне объясняется, прежде всего, его личными качествами философа, его умением увлечь за собой людей. Ореол вечного странника, а возможно, и мученика, вобравшего в себя мудрость великой восточной культуры, придавало образу Пифагора особую притягательную силу. Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но высокая нравственность пропо-

- 9 -

ведуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа, и, тем более, естествоиспытателя, принесли Пифагору успех. Нравственные принципы и правила, проповедуемые Пифагором, и сегодня достойны подражания.

«Для всех, и для многих и немногих, было у него на устах правило: беги от всякой хитрости, отсекай огнем, железом и любым оружием от тела болезнь, от души — невежество, от утробы — роскошества, от города — смуту, от семьи — ссору, от всего, что есть — неумеренность».

Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений: когда идешь ко сну, и когда пробуждаешься ото сна. И в тот, и в другой час следует потребовать от себя отчета во всем происходящем, окинуть мысленным взором все, что сделано, и что предстоит еще сделать. День пифагорейцу надлежало заканчивать стихами: «Не допускай ленивого сна на усталые очи прежде, чем на три вопроса не ответишь: «Что я сделал? Чего не сделал? Что осталось мне сделать?» И начинать со стихов: «Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, думай, раскинь, какие дела тебе день приготовил».

Не правда ли, эти стихи современны и по прошествии двух с половиной тысячелетий?

Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев — «Золотые стихи». «Золотые стихи» переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории.

Рассказ о пифагорейском братстве хорошо закончить характеристикой современных исследователей:

«Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречалось у многих сект, но что отличало пифагорейцев от всех других — это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения и соединения с божеством при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка, Бог — это единство, а мир - множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет все в космос, есть гармония.

Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучил эту божественную числовую гармонию, станет божественным и бессмертным».

- 10 -

8-й ученик. Смерть Пифагора.

Утверждают, что умер великий ученый в возрасте 80 или 90 лет. Бытует несколько версий смерти Пифагора. По одной из них он скончался в храме после 40-дневного голодания. По другой, был убит злоумышленниками, в окрестностях города. Согласно третьей, его дом подожгли, и он сгорел вместе с учениками

Прощаясь с Пифагором, мы хотим рассказать еще одно предание о смерти великого мудреца, предание, на наш взгляд, наиболее поэтичное.

Когда был подожжен дом Милона, где собирались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой — ценой жизней его единомышленников.

Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения для Пифагора лишена смысла.

Заключительное слово учителя.

Составление хронологии жизни Пифагора приводит к дополнительным трудностям, которые и сегодня рождают новые легенды.

Но даже если истинного пути Пифагора вообще не существовало, даже если Пифагор целиком был легендарной фигурой, и в этом случае за ней стоит нечто реальное, ибо Пифагор стал образом раннеантичной эпохи — эпохи, в которой закладывались основы современной математики, философии, да и всей современной науки вообще. Без Пифагора и пифагорейцев невозможно представить всю античную культуру, столь прочно пифагореизм вошел в ее плоть и кровь.

Сегодняшний день — это время осознания угрозы ядерного и экологического самоуничтожения человечества, это время самоочищения нашего общества, и в это время роль ученого-борца становится неизмеримо высока. Вот почему сегодня пронзительно современно выглядит отделенный от нас тысячелетний образ Пифагора — ученого, мыслителя, трибуна.

Его образ живет и действует в нашем сегодняшнем дне — это современная мысль древних.

• 11 –

Страница пятая

Учение о числе.

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслились зримо в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске — абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии — это натуральные числа.

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными:

Линейные числа (т.е. простые числа) – числа, которые делятся только на единицу и на самого себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию (линейное число 5)

Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6)

Телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей

(телесное число 8);

Треугольные числа: (треугольные числа 3, 6, 10);

квадратные числа: (квадратные числа 4, 9, 16);

- 12 -

пятиугольные числа: (пятиугольные числа 5, 12);

и т. д. Именно от фигурных чисел пошло выражение «Возвести число в квадрат или куб».

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов. Так, представляя плоское число 10 в двух формах:

легко «увидеть» переместительный закон умножения:

ав = ва.

В том же числе 10:

(2 + 3)2 = 2 2 + 3 2 = 10

можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения

(а + в)с = ас + вс и т. д.

Наконец, если камешки, образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ав мы автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S = ав

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о четном и нечетном». Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное — нечетное наряду с такими парами, предел — беспредельное, мужское — женское, доброе — злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего.

• 13 –

Страница шестая

Пифагоровы тройки.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

X² + y² = z² .

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а ее решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению, — называют пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами х, у и целочисленной гипотенузой z.

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета 1 (ок. 2000 до н. э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон 3: 4: 5 (3² + 4² = 5²). По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829 — 1920), в Древнем Египте существовала особая профессия гарпедонаптов — «натягивателей веревок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 ( = 3 + 4 + 5) равноотстоящих узлов. Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики — Ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон 3: 4: 5 называется египетским.

Сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные, пифагоровы тройки, такие как (3367, 3456, 4825) и даже

(12 709, 13 500, 18 541). Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам. И тем не менее, вопрос об общем решении уравнения в натуральных числах был поставлен и решен только пифагорейцами. Общая постановка какой бы то ни было математической задачи была чужда как древним египтянам, так и древним

- 14 -

вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона.

Уже тогда была доказана теорема о нахождении всех примитивных пифагоровых троек: если р и q взаимно простые числа разной четности (р q), то все примитивные пифагоровы тройки находятся по формулам: х = 2pq, у = р² — q², z = р² + q². .На этом можно было бы поставить точку, но...

Около 1630 г. скромный юрист из французского города Тулузы Пьер Ферма (1601 — 1665), проводивший свободное от работы время в математических упражнениях, на полях «Арифметики» Диофанта против того места, где Диофант решает задачу Пифагора, сделал запись: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень выше второй нельзя разложить на сумму двух степеней с теми же показателями. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Так, на полях Диофантовой «Арифметики» Ферма сформулировал утверждение, вошедшее в историю математики как великая теорема Ферма: для любого натурального n 2 уравнение Хⁿ + уⁿ =Zⁿ не имеет решений в целых положительных числах х, у, z.

Однако общее доказательство теоремы, обещанное Ферма, бесследно исчезло: вместо него в бумагах Ферма было найдено лишь частное доказательство для случая n = 4. Не нашли это доказательство и поныне лучшие математические умы мира.

Прошло более 350 лет, в течение которых предпринимались героические усилия для доказательства коварной теоремы. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему для n = 3, в 1825 г. П. Дирихле и А. Лежандр — для n = 5, в 1839 г. Г. Ламе — для n = 7. Затем Э. Куммер наметил общий подход к проблеме и доказал теорему для всех простых чисел и из промежутка [3; 100]. Страсти вокруг теоремы Ферма накалялись. В 1907 г. за ее доказательство была объявлена международная премия в 100 000 немецких марок. Теорема Ферма стала каким-то математическим наваждением. К настоящему времени с помощью ЭВМ установлено, что n≥1 125 000.

Последняя сенсация облетела математический мир в 1993 г.: английский математик Эндрю Майлс из Принстонского университета в докладе, сделанном в Институте математических наук имени Исаака Ньютона Кембриджского университета перед 75 виднейшими математиками мира, представил доказательство теоремы Ферма. Время покажет: будет ли в нем обнаружена

- 15 -

ошибка, как и в великом множестве предыдущих доказательств, или нет.

Тем не менее, все эти поиски, и прежде всего идеи российского математика А. Паршина, нельзя назвать бесполезными в математике и, таким образом, необычайно

обогатили саму математику.

Так, начатое Пифагором во времена, когда человечество знало лишь натуральные числа, исследование «безобидного» уравнения привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел — исследованию в целых числах уравнения — великой и неприступной на протяжении четырех столетий теореме Ферма.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор;

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье,

Мудрец богам не так, как было до тех пор,

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли, как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны.

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истины дорогу

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

«ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА»

Участники игры занимают свои места за игровым столом.

Ведущий. Пифагорейцы с равным усердием заботились и о физическом, и о духовном развитии. Не случайно среди дошедших до нас имен победителей олимпийских игр древности так много кротонцев (именно в Кротоне располагалась легендарная школа). Это неоднократный победитель олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фоилл, согласно преданию, прыгнувший в длину на 55 дельфийских стоп (16,3 м) и др. В те времена в ходу были поговорки: «Последний из кротонцев — первый из остальных греков» или «Здоровее кротонца», что означало высшую меру физического совершенства. Назовите термин, родившийся в среде пифагорейцев и обозначавший греческий идеал человека.

Участники по очереди называют буквы.

Интересные факты.

~ Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи».

~ В XVIII — XIX вв. «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 г, в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила».

Вот некоторые из пифагоровых заповедей.

Сыщи себе Верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.

Не гоняйся за счастьем; оно всегда находится в тебе самом.

Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.

После того, как слово угадано, ведущий поздравляет победителя, благодарит участников за игру.

Ведущий. Термин «калокагатия» (от греч. прекрасное + добро) обозначал идеал человека, сочетающего в себе эстетическое (прекрасное) и этическое (добро) начала, гармонию физических и духовных качеств.

2. Второй тур

Место за игровым столом занимает следующая тройка игроков.

Ведущий. Пифагорейская система знаний состояла из четырех разделов: арифметики (учение о числах), геометрии (учение о фигурах и их измерении), музыки (учение о

гармонии или теории музыки) и астрономии (учение о строении Вселенной). Удивительно, что система образования, заложенная Пифагором, просуществовала не века, а тысячелетия! И через 1000 лет, когда пал Рим, а вместе с ним и античная культура, эта система оставалась незыблемой. В VI в. писатель и государственный деятель возникшего на руинах Римской империи Остготского государства Кассиодор (487 — 578 гг.) отмечал: «Высшая наука