Вариант ОГЭ 9 класс

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Елочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое. Из деревни Елочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревне Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идет мимо пруда.

Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге  — со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 4 км.

1.  Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населенные пункты.

Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2.  Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни елочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

3.  Найдите расстояние от деревни Елочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

4.  Сколько минут затратят на дорогу из деревни Елочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

5.  В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырех магазинах, расположенных в деревне Елочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки.

 Володя с дедушкой хотят купить 5 л молока, 3 кг сыра «Российский» и 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

6.  Найдите значение выражения 

7.  На координатной прямой точками отмечены числа

Какому числу соответствует точка А?

1) 2) 3) 4)

8.  Найдите значение выражения при

9.  Решите уравнение Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

10.  В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

11.  На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка.

12.  Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P  =  I²R, где I  — сила тока (в амперах), R  — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.

13.  На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

14.  Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день  — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв в день 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

15.   Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 3 и 9.

16.  Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB  =  18, CD  =  24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.

17.  Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, угол сектора равен 120°, а радиус круга равен 9. В ответе укажите площадь, деленную на π.

18.   Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

19.  Какие из следующих утверждений верны?

1)  Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2)  Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3)  Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4)  Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

 Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

20.  Сократите дробь

21.  Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь  — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

22.  Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y  =  m имеет с графиком ровно две общие точки.

23.  Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK  =  3, CK  =  19.

24.   Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

25.   На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо  — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Елочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое. Из деревни Елочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревне Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идет мимо пруда.

Шоссе и грунтовые дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге  — со скоростью 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населенных пунктов, длина стороны каждой клетки равна 4 км.

1.  Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населенные пункты.

Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трех цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 

Решение. Пользуясь описанием и рисунком можно заметить, что село Кленовое соответствует цифре 2, деревня Елочки  — цифре 4, деревня Сосенки  — цифре 3.

 Ответ: 243.

 2.  Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни елочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение. Расстояние, которое проедут Володя с дедушкой, проезжая через Жуки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 60 км и 32 км. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 60 + 32  =  92 км. Ответ: 92.

3.  Найдите расстояние от деревни Елочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение. Расстояние от деревни Елочки до села Кленовое соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 60 км и 32 км. По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 68.

4.  Сколько минут затратят на дорогу из деревни Елочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение. Расстояние от деревни Елочки до села Кленовое соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 60 км и 32 км. Найдем ее по теореме Пифагора: По прямой грунтовой дороге Володя с дедушкой едут со скоростью 40 км/ч. Следовательно, на дорогу они затратят часа или 102 минуты.

 Ответ: 102.

5.  Решение. В деревне Елочки стоимость набора составит

В селе Кленовое стоимость набора составит

В деревне Сосенки стоимость набора составит

В деревне Жуки стоимость набора составит

Самый дешевый набор продуктов можно купить в деревне Сосенки по цене 1096 руб.

 Ответ: 1096.

6.  Найдите значение выражения 

Решение. Последовательно получаем:

Ответ: −15.7.  На координатной прямой точками отмечены числа

Какому числу соответствует точка А?

Решение. Рассмотрим каждое из чисел:

1)

2)

3)

4)

Расставим числа в порядке убывания:

Таким образом, точка А соответствует 0,29

Ответ: 3

8.  Найдите значение выражения при

Решение. Упростим выражение

Подставим значения :

Ответ: 3,75

9.  Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение −35.

Тем самым, это числа 7 и −5.

 Ответ: −57.

10.  В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

Решение. Всего спортсменов 13 + 2 + 5 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России, равна

 Ответ: 0,65.

11.  На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка. Ответ: 1.

12.  Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P  =  I²R, где I  — сила тока (в амперах), R  — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 150 ватт, а сила тока равна 5 амперам.

Решение. Выразим сопротивление из формулы для мощности:

Подставляя, получаем:

Ответ: 6.

13.  На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

Решение. Решим неравенство:

Ответ: 3.

14.  Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день  — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв в день 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Решение. На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап, когда число капель в день возрастает продолжается Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:

Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё

Последний этап приёма начинается с того момента, когда пациент уменьшит число принимаемых капель на 3, то есть примет в день 27 капель. Этот этап длится Аналогично первому этапу:

Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше пузырьков лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства  — 2.

 Ответ: 2.

15.  Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 3 и 9.

Решение. Площадь трапеции вычисляется по формуле

где a и b  — основания, а h  — высота трапеции. Найдем высоту: следовательно,

 Ответ: 15.

16.  Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB  =  18, CD  =  24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.

Решение. Проведем построения и введем обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и BOH, они прямоугольные, стороны AO и OB равны как радиусы окружности, OH  — общая, следовательно, треугольники AOH и HOB равны. Откуда Аналогично, равны треугольники COK и KOD, откуда Рассмотрим треугольник BOH, найдем OB по теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник OKD, он прямоугольный, из теоремы Пифагора найдем

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 9.

 Ответ: 9.

17.  Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, угол сектора равен 120°, а радиус круга равен 9. В ответе укажите площадь, деленную на π.

Решение. Площадь сектора равна имеем:

 Ответ: 27.

18.  Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение. Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике  — отношение противолежащего катета к прилежащему:

 Ответ: 0,8.

19.  Какие из следующих утверждений верны?

 1)  Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2)  Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3)  Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4)  Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.

 Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.»  — верно, прямоугольник является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

2)  «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.»  — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

3)  «Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.»  — верно, при нечетном количестве углов каждая ось симметрии проходи через вершину и середину противоположной стороны.

4)  «Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.»  — неверно, у равнобедренной трапеции нет точек симметрии.

 Ответ: 123.

20.  Сократите дробь

Решение. Разложим числитель на множители, используя метод группировки:

Ответ:

 Приведем другое решение.

Последовательно разделим многочлен на одночлены в столбик:

21.  Игорь и Паша красят забор за 18 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 20 часов, а Володя и Игорь  — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение. За один час Игорь и Паша красят 1/18 забора, Паша и Володя красят 1/20 забора, а Володя и Игорь  — за 1/30 забора. Работая вместе, за один час два Игоря, Паши и Володи покрасили бы:

  забора.

Тем самым, они могли бы покрасить один забор за 7,2 часа. Поскольку каждый из мальчиков был учтен два раза, в реальности Игорь, Паша и Володя могут покрасить забор за 14,4 часа=864 минуты.

 Ответ: 864.

22.  Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y  =  m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение. Построим график функции при и график функции при

Прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки при

m = 3 и m = 4.

23.  Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK  =  3, CK  =  19.

Решение. Накрест лежащие углы BKA и KAD равны, AK  — биссектриса угла BAD, следовательно,

Значит, треугольник BKA равнобедренный и Длина стороны BC равна сумме длин BK и CK, следовательно, равна 22. Найдем периметр параллелограмма:

Ответ: 50.

24.  Два равных прямоугольника имеют общую вершину O (см. рис.). Докажите, что площади треугольников AOK и COM равны.

Решение. Две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого: и Рассмотрим углы между ними:

Поэтому

25.  На рисунке изображен колодец с «журавлем». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо  — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Решение. Введем обозначения, приведенные на рисунке. Здесь AC  — плечи "журавля" до опускания, BD  — после, AH  — высота, на которую поднялся конец короткого плеча, CK  — высота, на которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники AOB и COD, углы AOB и COD равны, как вертикальные, следовательно, равны и углы при основаниях:

Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по двум углам, то есть

Рассмотри прямые AB и CD, их пересекает секущая BD углы, обозначенные на рисунке 1 и 2 накрест лежащие и равны друг другу, следовательно, прямые AB и CD параллельны. Стороны углов 3 и 4 параллельны друг другу, следовательно, они равны.

Рассмотрим треугольники AHB и CDK, они прямоугольные, имеют равные углы, следовательно, они подобны, значит:

Ответ: 1.