Векторы. Свойства вектора

Векторы в пространстве

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Задание

Записать все термины по теме «Векторы на плоскости».

Вектор

Нулевой вектор

Длина вектора

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Равенство векторов

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .

В

Обозначение вектора

АВ, с

с

А

ТТ

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

нулевым.

Обозначение нулевого вектора

ТТ, 0

0

Длина ненулевого вектора

• Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.

• Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :

АВ , а

• Длина нулевого вектора считается равной нулю :

= 0

0

Определение коллинеарности векторов

• Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

Сонаправленные векторы:

5 см

D 1

C 1

AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C

AB D 1 C 1

3 см

В 1

A 1

Противоположно-направленные:

CD D 1 C 1, CD AB,

DA BC

9 см

9 см

D

C

АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

3 см

A

B

5 см

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они

сонаправлены и их длины равны .

С

В

АВ=ЕС, так как

АВ ЕС и АВ = ЕС

Е

А

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

• Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

АН=ОК, т. к АН ОК

АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Э

Э

Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один

Дано: а, М.

Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку

М плоскость.

М

В этой плоскости построим

МК = а.

а

Из теоремы о параллельности

прямых следует МК = а и М МК .

В

Решение задач

№ 322

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

В 1

С 1

а) сонаправленных векторов

Д 1

А 1

К

ДК и СМ; C В и С 1 В 1 и Д 1 А 1;

б) противоположно направленных

векторов

СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;

С

в) равных векторов

C В = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

А

Д

Решение задач

№ 321 (б)

Решение:

C 1

D 1

DC 1 =

B 1

A 1

DB =

DB 1 =

C

D

B

A

В

Решение задач

№ 323

Дано : точки М, N, P,Q – середины сторон

AB, AD, DC, BC ; AB = AD = DC = BC = DD=AC ;

D

а) выписать пары равных векторов;

MN = QP ; PN = QM ; DP = PC ;

б) определить вид четырехугольника

MNHQ .

Р

N

Решение: NP- средняя линия треугольника

ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC ;

MQ- средняя линия тр . ABC, MQ = 0,5AC,

MQ\\AC,

А

С

NP=MQ, NP\\MQ .

PQ- средняя линия треугольника D В C ;

PQ = 0,5DB, PQ\\DB ;

Q

М

NM -средняя линяя треугольника ADB,

MN = 0,5DB, MN\\DB,

PQ=MN, PQ\\MN .

По условию все ребра тетраэдра равны , то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.

DB перпендикулярно АС .

MNPQ-

квадрат

NP=MQ = PQ=MN

NP\\MQ

MN\\PQ

В

Решение задач

№ 326 (а , б , в)

Назовите вектор , который

получится , если отложить:

а) от точки С вектор , равный DD 1

М

С 1

В 1

К

D 1

А 1

CC 1 = DD 1

б) от точки D вектор , равный СМ

DK = CM

в) от точки А 1 вектор , равный АС

С

А 1 С 1 = АС

А

D

Самостоятельная работа

Дан тетраэдр МАВС , угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС , АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ .

Решение:

М

М

Треугольник АВС , угол АСВ- прямой.

По теореме Пифагора

К

С

9

КМ – средняя линия треугольника МВС ,

КМ = 0 ,5 ВС = 6 см.

КМ = 6 см.

А

15

В

Домашнее задание

Стр. 84 – 85

№ 320 , 321(а) , 325.