Векторы в пространстве

Векторы

Геометрия 9 класс

Оглавление

• Понятие вектора
• Длина вектора
• Коллинеарные вектора
• Сонаправленные вектора
• Противоположно направленные вектора
• Равенство векторов
• Сложение векторов

• Правило треугольника Правило параллелограмма Сложение нескольких векторов
• Правило треугольника
• Правило параллелограмма
• Сложение нескольких векторов

• Вычитание векторов
• Произведение вектора на число

Понятие вектора

Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами

v

F

3

Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором

AB

- вектор

B

Конец вектора

A

Начало вектора

Проверь себя

4

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.

N

F

E

D

K

M

С

Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши

Сравним ответ

5

DC

MN

FE

KK

Задание. Назови вектора и запиши их обозначения.

N

F

E

D

K

M

С

Правильность записи векторов вызывается по щелчку мыши

6

Длина вектора

вектор MN или вектор а

N

Длиной вектора или модулем не нулевого вектора называется длина отрезка

a

M

|MN| = | a | длина вектора MN

K

вектор КК или нулевой вектор

|KK| = 0

Проверь себя

7

Укажите длину векторов

F

E

N

L

Сравним ответ

K

с

M

8

Укажите длину векторов

E

F

|EF| = 3

N

L

|MN| = 4

|LK| = 5

K

|c| = 2

с

M

9

Коллинеарные вектора

Ненулевые вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

L

с

K

b

A

B

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору

М

Проверь себя

10

Сонаправленные вектора

Коллинеарные вектора имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами

c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ c (любому вектору)

L

с

b

K

A

B

М

Проверь себя

11

Противоположно направленные вектора

Коллинеарные вектора имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

b ↑↓ KL AB ↑↓ c

c ↑↓ b KL ↑↓ AB

L

K

A

с

b

B

Проверь себя

12

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны

c ↑↑ KL, | c | = | KL |  c = KL

L

b

K

с

A

B

Проверь себя

13

Задание

Назовите коллинеарные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Сравним ответ

13

Задание

Назовите коллинеарные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Задание

Назовите соноправленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

B

A

K

N

L

M

D

C

Сравним ответ

Задание

Назовите соноправленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Задание

Назовите противоположно направленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Сравним ответ

Задание

Назовите противоположно направленные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Задание

Назовите равные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Сравним ответ

20

Задание

Назовите равные вектора:

Вариант 2

Вариант 1

A

B

K

N

L

M

D

C

Сложение векторов Правило треугольника

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

b

с

a + b = c

a

22

Сложение векторов Правило параллелограмма

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

с

a + b = c

a

b

23

Сумма нескольких векторов

a + b + c + d + m + n

b

a

b

n

a

c

m

m

n

d

c

d

24

Вычитание векторов

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a - b

Построение:

с

a - b = c

a

b

25

0, то a ↑↑ b если k 0, то a ↑↓ b -2a 2a a Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон), 2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон), 3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон). 26 " width="640"

Умножение вектора a на число k

k· a = b ,

| a | ≠ 0, k – произвольное число

| b | = | k | · | a |,

если k 0, то a ↑↑ b

если k 0, то a ↑↓ b

-2a

2a

a

Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:

1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон),

2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон),

3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон).

26