ГБПОУ ВО «Воронежский политехнический техникум»
Векторы в пространстве
Преподаватель: Михайлова Т.А.
Воронеж, 2021 г.
Цели урока
- Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов, действия над векторами.
- Уметь: решать задачи по данной теме.
Физические величины
v
Скорость
Ускорение а
Перемещение s
Сила F
Вектор
напряженности
Электрическое поле
Е
+
Направление тока
Вектор магнитной
индукции
Магнитное поле
в
Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона
Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .
Определение вектора в пространстве
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .
В
Обозначение вектора
АВ, с
с
А
ТТ
Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется
нулевым.
Обозначение нулевого вектора
ТТ, 0
0
Т
Длина ненулевого вектора
- Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.
- Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :
АВ , а
- Длина нулевого вектора считается равной нулю :
= 0
0
Определение коллинеарности векторов
- Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы
Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.
Сонаправленные векторы:
5 см
D 1
C 1
AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C
AB D 1 C 1
3 см
В 1
A 1
Противоположно-направленные:
9 см
9 см
CD D 1 C 1, CD AB,
DA BC
D
C
АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.
3 см
B
A
5 см
Равенство векторов
Векторы называются равными , если они
сонаправлены и их длины равны .
С
В
АВ=ЕС, так как
АВ ЕС и АВ = ЕС
Е
А
Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.
О
А
В
Н
К
А
М
С
АН=ОК, т. к АН ОК
АВ=СМ, т. к АВ = СМ
Э
Э
Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один
Дано: а, М.
Доказать: в = а, М в, единственный.
Доказательство:
К
Проведем через вектор а и точку
М плоскость.
М
В этой плоскости построим
МК = а.
а
Из теоремы о параллельности
прямых следует МК = а и М МК .
В
Задача
Укажите на этом рисунке
все пары:
М
С 1
В 1
а) сонаправленных векторов
К
Д 1
А 1
ДК и СМ; CВ и С 1 В 1 и Д 1 А 1;
б) противоположно направленных
векторов
СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;
С
в) равных векторов
CВ = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ
А
Д
Сложение векторов Правило треугольника
b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
b
с
a + b =c
a
18
Вычитание векторов
b
Дано: a, b
a
Построить: c = a - b
Построение:
a - b = c
или
c
a
b
19
Сумма и разность векторов
Законы сложения векторов
Умножение вектора a на число k
k·a = b ,
| a | ≠ 0, k – произвольное число
| b | = | k | · | a |,
если k ≥0, то a ↑↑ b
если k a ↑↓ b
2a
a
-2a
Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:
1º. ( kl ) a= k ( la ) (сочетательный закон),
2º. ( k+l ) a= ka+la (первый распределительный закон),
3º. k ( a+b ) = ka+kb (второй распределительный закон).
22
Умножение вектора на число
Сочетательный закон
Умножение вектора на число
Первый распределительный закон
Умножение вектора на число
Второй распределительный закон
B 1
C 1
B
D 1
A 1
А)
=
C
D
A
B 1
C 1
B
D 1
A 1
C
D
A
B 1
C 1
B
D 1
A 1
В) =
C
D
A
Самостоятельная работа
II вариант
I вариант
Домашнее задание
Выучить конспект, №330 (в, г, д)
Кроссворд
1
Г А М И Л Ь Т О Н
В Е К Т О Р
2
К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е
4
К О Ш И
Д Л И Н А
5
6
И Н Д У К Ц И И
Р А В Н Ы М И
7
Перемена
Список литературы:
1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.
2. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.