СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 21.07.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Векторы в пространстве

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Нагладное пособие к уроку геометрии на тему "Векторы в пространстве"

Просмотр содержимого документа
«Векторы в пространстве»

 ГБПОУ ВО «Воронежский политехнический техникум» Векторы в пространстве Преподаватель: Михайлова Т.А. Воронеж, 2021 г.

ГБПОУ ВО «Воронежский политехнический техникум»

Векторы в пространстве

Преподаватель: Михайлова Т.А.

Воронеж, 2021 г.

Цели урока Знать:  определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов, действия над векторами. Уметь: решать задачи по данной теме.

Цели урока

  • Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов, действия над векторами.
  • Уметь: решать задачи по данной теме.
Физические величины v Скорость  Ускорение а  Перемещение s  Сила F

Физические величины

v

Скорость

Ускорение а

Перемещение s

Сила F

Вектор  напряженности  Электрическое поле Е +

Вектор

напряженности

Электрическое поле

Е

+

Направление тока Вектор магнитной индукции Магнитное поле в

Направление тока

Вектор магнитной

индукции

Магнитное поле

в

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков  Г. Грассмана  У. Гамильтона

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Современная символика для обозначения вектора  r  была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .

Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .

Определение вектора в пространстве  Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором . В Обозначение вектора АВ, с  с А

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .

В

Обозначение вектора

АВ, с

с

А

ТТ Любая  точка пространства также  может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется  нулевым. Обозначение нулевого вектора ТТ, 0 0 Т

ТТ

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

нулевым.

Обозначение нулевого вектора

ТТ, 0

0

Т

Длина ненулевого вектора  Длиной вектора АВ  называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :  АВ , а Длина нулевого вектора считается равной нулю :  = 0 0

Длина ненулевого вектора

  • Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.
  • Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :

АВ , а

  • Длина нулевого вектора считается равной нулю :

= 0

0

Определение коллинеарности векторов  Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной  прямой или на параллельных прямых.

Определение коллинеарности векторов

  • Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы Сонаправленные векторы  Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Какие векторы на рисунке сонаправленные?  Какие векторы на рисунке противоположно направленные?  Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1. Сонаправленные векторы: 5 см D 1 C 1 AA 1  BB 1 , A 1 D  B 1 C  AB D 1 C 1  3 см В 1 A 1 Противоположно-направленные: 9 см 9 см CD D 1 C 1, CD AB, DA BC   D C АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см. 3 см B A 5 см

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

Сонаправленные векторы:

5 см

D 1

C 1

AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C

AB D 1 C 1

3 см

В 1

A 1

Противоположно-направленные:

9 см

9 см

CD D 1 C 1, CD AB,

DA BC

D

C

АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

3 см

B

A

5 см

Равенство векторов Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны . С В АВ=ЕС, так как  АВ ЕС и АВ = ЕС  Е А

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они

сонаправлены и их длины равны .

С

В

АВ=ЕС, так как

АВ ЕС и АВ = ЕС

Е

А

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте. Рисунок № 1 Рисунок № 2 О А В Н К А М С АН=ОК, т. к АН ОК  АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

  • Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

АН=ОК, т. к АН ОК

АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Э Э Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один Дано: а, М. Доказать: в = а, М в, единственный.  Доказательство: К Проведем через вектор а и точку   М плоскость. М В этой плоскости построим  МК = а. а Из теоремы о параллельности прямых следует МК = а и М МК .

Э

Э

Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один

Дано: а, М.

Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку

 

М плоскость.

М

В этой плоскости построим

МК = а.

а

Из теоремы о параллельности

прямых следует МК = а и М МК .

В Задача Укажите на этом рисунке все пары: М С 1 В 1 а) сонаправленных векторов К Д 1 А 1 ДК и СМ; CВ и С 1 В 1 и  Д 1 А 1;  б) противоположно направленных  векторов СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1; С в) равных векторов CВ = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ А Д

В

Задача

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

С 1

В 1

а) сонаправленных векторов

К

Д 1

А 1

ДК и СМ; CВ и С 1 В 1 и Д 1 А 1;

б) противоположно направленных

векторов

СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;

С

в) равных векторов

CВ = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

А

Д

Сложение векторов  Правило треугольника b Дано: a, b a Построить: c = a + b Построение: b с a + b =c a 18

Сложение векторов Правило треугольника

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

b

с

a + b =c

a

18

Вычитание векторов b Дано: a, b a Построить: c = a - b Построение:   a - b = c или  c a b 19

Вычитание векторов

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a - b

Построение:

 

a - b = c

или

c

a

b

19

Сумма и разность векторов

Сумма и разность векторов

Законы сложения векторов

Законы сложения векторов

Умножение вектора a на число k k·a = b , | a | ≠ 0, k – произвольное число | b | = | k | · | a |, если k ≥0, то  a ↑↑ b если k  a ↑↓ b 2a a -2a Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1º. ( kl ) a= k ( la ) (сочетательный закон), 2º. ( k+l ) a= ka+la  (первый распределительный закон),  3º. k ( a+b ) = ka+kb  (второй распределительный закон).   22

Умножение вектора a на число k

k·a = b ,

| a | ≠ 0, k – произвольное число

| b | = | k | · | a |,

если k ≥0, то a ↑↑ b

если k a ↑↓ b

2a

a

-2a

Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:

1º. ( kl ) a= k ( la ) (сочетательный закон),

2º. ( k+l ) a= ka+la (первый распределительный закон),

3º. k ( a+b ) = ka+kb (второй распределительный закон).

22

Умножение вектора на число Сочетательный закон

Умножение вектора на число

Сочетательный закон

Умножение вектора на число Первый распределительный закон

Умножение вектора на число

Первый распределительный закон

Умножение вектора на число Второй распределительный закон

Умножение вектора на число

Второй распределительный закон

    B 1 C 1 B D 1   A 1 А)   =     C   D   A

 

 

B 1

C 1

B

D 1

 

A 1

А)

 

=

 

 

C

 

D

 

A

      B 1 C 1 B D 1   A 1     C   D   A

 

 

 

B 1

C 1

B

D 1

 

A 1

 

 

C

 

D

 

A

    B 1 C 1 B D 1   A 1   В) =      C   D   A

 

 

B 1

C 1

B

D 1

 

A 1

 

В) =

 

 

C

 

D

 

A

Самостоятельная работа II вариант I вариант    

Самостоятельная работа

II вариант

I вариант

  •  
  •  
Домашнее задание      Выучить конспект, №330 (в, г, д)

Домашнее задание

Выучить конспект, №330 (в, г, д)

Кроссворд 1  Г А М   И Л Ь Т О Н  В Е К Т О Р 2  К О Л  Л И Н Е А Р Н Ы Е 4  К О  Ш  И  Д  Л И Н А 5 6 И Н Д У К Ц  И И  Р А В Н Ы М И 7

Кроссворд

1

Г А М И Л Ь Т О Н

В Е К Т О Р

2

К О Л Л И Н Е А Р Н Ы Е

4

К О Ш И

Д Л И Н А

5

6

И Н Д У К Ц И И

Р А В Н Ы М И

7

Перемена

Перемена

 Список литературы: 1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010. 2. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.

Список литературы:

1. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2010.

2. Поурочные разработки по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителю- М.: ВАКО, 2007.


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!