Векторы в пространстве
Понятие вектора
Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором
B
Конец вектора
a
A
AB
либо а
Начало вектора
2
Длина вектора
Е
Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка
К
| КЕ | = | KE | длина вектора КЕ
М
вектор ММ - нулевой вектор
| ММ | = 0
3
Коллинеарные векторы
Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
L
с
K
b
A
B
М
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
4
Сонаправленные векторы
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами
c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ (любому вектору)
L
с
b
K
A
B
М
5
Противоположно направленные векторы
Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами
b ↑↓ KL AB ↑↓ c
c ↑↓ b KL ↑↓ AB
L
K
A
с
b
B
6
Равенство векторов
Векторы называются равными , если:
1) они сонаправлены ;
2) их длины равны.
m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL
L
b
K
A
m
B
7
Векторы в пространстве
5
4
3
Сложение векторов Правило треугольника
b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
b
с
a + b =c
a
9
Сложение векторов Правило параллелограмма
b
Дано: a, b
a
Построить: c = a + b
Построение:
с
a + b =c
a
b
10
Правило параллелепипеда
Правило многоугольника
=a + b + c + d + m + n
b
a
b
n
a
c
m
m
n
d
c
d
12
Вычитание векторов
b
Дано: a, b
a
Построить: n = a - b
Построение:
n
a - b = n
a
b
13
Сумма и разность векторов
Законы сложения векторов
Назад
0, то a ↑↑ b если k 0, то a ↑↓ b 2a a -2a Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон), 2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон), 3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон). 16 " width="640"
Умножение вектора a на число k
k· a = b ,
| a | ≠ 0, k – произвольное число
| b | = | k | · | a |,
если k 0, то a ↑↑ b
если k 0, то a ↑↓ b
2a
a
-2a
Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:
1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон),
2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон),
3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон).
16
Умножение вектора на число
Сочетательный закон
Умножение вектора на число
Первый распределительный закон
Умножение вектора на число
Второй распределительный закон
Компланарные векторы
Векторы называются компланарными ,
если при откладывании их от одной точки они будут
лежать в одной плоскости.
Замечания
- Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются компланарными .
- Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Компланарные векторы
Прямоугольная система координат
- Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
- Впервые введена Р.Декартом (1596-1650)
Координаты точки
- Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел ( x , y , z ) называемых координатами точки в пространстве
Координаты вектора
- Векторы (i. j. k) единичные векторы
- Любой вектор можно разложить по координатным векторам
Длина вектора
Скалярное произведение векторов
Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.