СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 08.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Векторы в пространстве

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Векторы в пространстве

Презентация на тему: " Векторы в пространстве". Определение вектора, виды векторов. 

Просмотр содержимого документа
«Векторы в пространстве»

Векторы в пространстве

Векторы в пространстве

Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором B Конец вектора a A AB  либо а Начало вектора 2

Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором

B

Конец вектора

a

A

AB

либо а

Начало вектора

2

Длина вектора Е Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка К | КЕ | = | KE | длина вектора КЕ М вектор ММ  - нулевой вектор | ММ | = 0 3

Длина вектора

Е

Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка

К

| КЕ | = | KE | длина вектора КЕ

М

вектор ММ - нулевой вектор

| ММ | = 0

3

Коллинеарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых L с K b A B М Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору 4

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

L

с

K

b

A

B

М

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору

4

Сонаправленные векторы Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами c  ↑↑ KL AB ↑↑ b  MM ↑↑  (любому       вектору) L с b K A B М 5

Сонаправленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами

c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ (любому вектору)

L

с

b

K

A

B

М

5

Противоположно направленные векторы Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами b  ↑↓ KL AB ↑↓ c c ↑↓ b KL ↑↓ AB L K A с b B 6

Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

b ↑↓ KL AB ↑↓ c

c ↑↓ b KL ↑↓ AB

L

K

A

с

b

B

6

Равенство векторов Векторы называются равными , если: 1) они сонаправлены ; 2) их длины равны. m  ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но  m = KL L b K A m B 7

Равенство векторов

Векторы называются равными , если:

1) они сонаправлены ;

2) их длины равны.

m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL

L

b

K

A

m

B

7

Векторы в пространстве 5 4 3

Векторы в пространстве

5

4

3

Сложение векторов  Правило треугольника b Дано: a, b a Построить: c = a + b Построение: b с a + b =c a 9

Сложение векторов Правило треугольника

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

b

с

a + b =c

a

9

Сложение векторов  Правило параллелограмма b Дано: a, b a Построить: c = a + b Построение: с a + b =c a b 10

Сложение векторов Правило параллелограмма

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

с

a + b =c

a

b

10

Правило параллелепипеда

Правило параллелепипеда

Правило многоугольника =a + b + c + d + m + n b a b n a c m m n d c d 12

Правило многоугольника

=a + b + c + d + m + n

b

a

b

n

a

c

m

m

n

d

c

d

12

Вычитание векторов b Дано: a, b a Построить: n = a - b Построение: n a - b = n a b 13

Вычитание векторов

b

Дано: a, b

a

Построить: n = a - b

Построение:

n

a - b = n

a

b

13

Сумма и разность векторов

Сумма и разность векторов

Законы сложения векторов Назад

Законы сложения векторов

Назад

0, то a ↑↑ b если k 0, то a ↑↓ b 2a a -2a Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон), 2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон), 3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон). 16 " width="640"

Умножение вектора a на число k

a = b ,

| a | ≠ 0, k – произвольное число

| b | = | k | · | a |,

если k 0, то a ↑↑ b

если k 0, то a ↑↓ b

2a

a

-2a

Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:

1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон),

2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон),

3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон).

16

Умножение вектора на число Сочетательный закон

Умножение вектора на число

Сочетательный закон

Умножение вектора на число Первый распределительный закон

Умножение вектора на число

Первый распределительный закон

Умножение вектора на число Второй распределительный закон

Умножение вектора на число

Второй распределительный закон

Компланарные векторы Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости. Замечания Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются  компланарными . Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными ,

если при откладывании их от одной точки они будут

лежать в одной плоскости.

Замечания

  • Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются  компланарными .
  • Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
Компланарные векторы

Компланарные векторы

Прямоугольная система координат Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Впервые введена Р.Декартом (1596-1650)

Прямоугольная система координат

  • Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
  • Впервые введена Р.Декартом (1596-1650)
Координаты точки Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел ( x , y , z ) называемых координатами точки в пространстве

Координаты точки

  • Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел ( x , y , z ) называемых координатами точки в пространстве
Координаты вектора Векторы (i.  j.  k) единичные векторы Любой вектор можно разложить по координатным векторам

Координаты вектора

  • Векторы (i. j. k) единичные векторы
  • Любой вектор можно разложить по координатным векторам
Длина вектора

Длина вектора

    Скалярное произведение векторов

    Скалярное произведение векторов

    Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

    Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.


    Скачать

    Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

    Вебинар для учителей

    Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!