Векторы в пространстве

Векторы в пространстве

Понятие вектора

Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором

B

Конец вектора

a

A

AB

либо а

Начало вектора

2

Длина вектора

Е

Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка

К

| КЕ | = | KE | длина вектора КЕ

М

вектор ММ - нулевой вектор

| ММ | = 0

3

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых

L

с

K

b

A

B

М

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору

4

Сонаправленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами

c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ (любому вектору)

L

с

b

K

A

B

М

5

Противоположно направленные векторы

Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами

b ↑↓ KL AB ↑↓ c

c ↑↓ b KL ↑↓ AB

L

K

A

с

b

B

6

Равенство векторов

Векторы называются равными , если:

1) они сонаправлены ;

2) их длины равны.

m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL

L

b

K

A

m

B

7

Векторы в пространстве

5

4

3

Сложение векторов Правило треугольника

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

b

с

a + b =c

a

9

Сложение векторов Правило параллелограмма

b

Дано: a, b

a

Построить: c = a + b

Построение:

с

a + b =c

a

b

10

Правило параллелепипеда

Правило многоугольника

=a + b + c + d + m + n

b

a

b

n

a

c

m

m

n

d

c

d

12

Вычитание векторов

b

Дано: a, b

a

Построить: n = a - b

Построение:

n

a - b = n

a

b

13

Сумма и разность векторов

Законы сложения векторов

Назад

0, то a ↑↑ b если k 0, то a ↑↓ b 2a a -2a Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон), 2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон), 3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон). 16 " width="640"

Умножение вектора a на число k

k· a = b ,

| a | ≠ 0, k – произвольное число

| b | = | k | · | a |,

если k 0, то a ↑↑ b

если k 0, то a ↑↓ b

2a

a

-2a

Для любых чисел k , l и любых векторов a, b справедливы равенства:

1 º . ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон),

2 º . ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон),

3 º . k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон).

16

Умножение вектора на число

Сочетательный закон

Умножение вектора на число

Первый распределительный закон

Умножение вектора на число

Второй распределительный закон

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными ,

если при откладывании их от одной точки они будут

лежать в одной плоскости.

Замечания

• Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются  компланарными .
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Компланарные векторы

Прямоугольная система координат

• Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
• Впервые введена Р.Декартом (1596-1650)

Координаты точки

• Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел ( x , y , z ) называемых координатами точки в пространстве

Координаты вектора

• Векторы (i. j. k) единичные векторы

• Любой вектор можно разложить по координатным векторам

Длина вектора

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.