Векторы в пространстве

Векторы

В ектором в пространстве называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В .

Длиной , или модулем , вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторо в , обозначается соответственно , .

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и направление.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются , и их длина считается равной нулю.

Сложение векторов

Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и , вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора . Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора , а конец - с концом вектора , называется суммой векторов и , обозначается

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойства сложения векторов

Свойство 1. (переместительный закон).

Свойство 2. (сочетательный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

0, и меняется на противоположное, если t Произведение вектора на число t обозначается . По определению, В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и " width="640"

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число t называется вектор, длина которого равна , а направление остается прежним, если t 0, и меняется на противоположное, если t

Произведение вектора на число t обозначается . По определению,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и

Свойства

Разностью векторов и называется вектор , который обозначается

Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:

Свойство 1. (сочетательный закон).

Свойство 2 . (первый распределительный закон).

Свойство 3 . (второй распределительный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

В каком случае длина суммы векторов равна сумме длин слагаемых?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Если векторы одинаково направлены.

Упражнение 2

Точка B - середина отрезка AC , а точка C - середина отрезка BD . Равны ли векторы:

а) и ;

б) и ?

Ответ: а) Да;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) нет.

Упражнение 3

Н азовите пары: а) одинаково направленных векторов; б) противоположно направленных векторов , с началом и концом в вершинах параллелепипеда A ... D 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) и , и , и ;

б) и , и , и .

8

Упражнение 4

В кубе A … D 1 назовите вектор, равный:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в)

г)

9

Упражнение 5

Для параллелепипеда A ... D 1 выясните, верны ли следующие утверждения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) Да;

б) да;

в) да;

г) нет.

Упражнение 6

В параллелепипеде A ... D 1 укажите векторы, равные :

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

г)

в)

б)

11

Упражнение 7

A ... D 1 - параллелепипед. Упростите выражение

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 8

A ... F 1 – правильная призма . Упростите выражение

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

Упражнение 9

В единичном кубе A ... D 1 найдите длину вектора

Решение. Данная сумма векторов равна вектору

Его длина равна .

Ответ. .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 10

В единичном кубе A ... D 1 найдите длину вектора

Решение. Данная сумма векторов равна вектору

Его длина равна .

Ответ. .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 11

В единичном кубе A ... D 1 найдите длину вектора

Решение. Данная сумма векторов равна удвоенному вектору где O 1 – середина отрезка B 1 D 1 .

Его длина равна .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ. .

16

Упражнение 12

В правильной треугольной призме A B С A 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите длину вектора

Решение. Длина данного вектора равна длине вектора удвоенного вектора где O – середина отрезка BC .

Его длина равна

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ.

Упражнение 13

В правильной треугольной призме A B С A 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите длину вектора

Решение. Длина данного вектора равна длине вектора вектора т.е. равна

Ответ.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 14

В правильной треугольной призме A B С A 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите длину вектора

Решение. Длина данного вектора равна длине вектора вектора т.е. равна

Ответ.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой