Векторы в пространстве.

Векторы в пространстве

Цели урока

• Знать: определение вектора в пространстве и связанные с ним понятия; равенство векторов.

• Уметь: решать задачи по данной теме.

Физические величины

v

Скорость

Ускорение а

Перемещение s

Сила F

Вектор

напряженности

Электрическое поле

Е

+

Направление тока

Вектор магнитной

индукции

Магнитное поле

в

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Современная символика для обозначения вектора r была введена в 1853 году французским математиком О. Коши .

Задание

Записать все термины по теме «Векторы на плоскости».

Вектор

Нулевой вектор

Длина вектора

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Равенство векторов

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .

В

Обозначение вектора

АВ, с

с

А

ТТ

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

нулевым.

Обозначение нулевого вектора

ТТ, 0

0

Т

Длина ненулевого вектора

• Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.

• Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :

АВ , а

• Длина нулевого вектора считается равной нулю :

= 0

0

Определение коллинеарности векторов

• Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие

по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

Противоположно направленные векторы

Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

Сонаправленные векторы:

5 см

D 1

C 1

AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C

AB D 1 C 1

3 см

В 1

A 1

Противоположно-направленные:

CD D 1 C 1, CD AB,

DA BC

9 см

9 см

D

C

АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

3 см

A

B

5 см

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они

сонаправлены и их длины равны .

С

В

АВ=ЕС, так как

АВ ЕС и АВ = ЕС

Е

А

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

• Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

АН=ОК, т. к АН ОК

АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным нулевому,

считается нулевой вектор.

Э

Э

Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один

Дано: а, М.

Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку

М плоскость.

М

В этой плоскости построим

МК = а.

а

Из теоремы о параллельности

прямых следует МК = а и М МК .

В

Решение задач

№ 322

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

В 1

С 1

а) сонаправленных векторов

Д 1

А 1

К

ДК и СМ; C В и С 1 В 1 и Д 1 А 1;

б) противоположно направленных

векторов

СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;

С

в) равных векторов

C В = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

А

Д

Решение задач

№ 321 (б)

Решение:

C 1

D 1

DC 1 =

B 1

A 1

DB =

DB 1 =

C

D

B

A

В

Решение задач

№ 323

Дано : точки М, N, P,Q – середины сторон

AB, AD, DC, BC ; AB = AD = DC = BC = DD=AC ;

D

а) выписать пары равных векторов;

MN = QP ; PN = QM ; DP = PC ;

б) определить вид четырехугольника

MNHQ .

Р

N

Решение: NP- средняя линия треугольника

ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC ;

MQ- средняя линия тр . ABC, MQ = 0,5AC,

MQ\\AC,

А

С

NP=MQ, NP\\MQ .

PQ- средняя линия треугольника D В C ;

PQ = 0,5DB, PQ\\DB ;

Q

М

NM -средняя линяя треугольника ADB,

MN = 0,5DB, MN\\DB,

PQ=MN, PQ\\MN .

По условию все ребра тетраэдра равны , то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.

DB перпендикулярно АС .

MNPQ-

квадрат

NP=MQ = PQ=MN

NP\\MQ

MN\\PQ

В

Решение задач

№ 326 (а , б , в)

Назовите вектор , который

получится , если отложить:

а) от точки С вектор , равный DD 1

М

С 1

В 1

К

D 1

А 1

CC 1 = DD 1

б) от точки D вектор , равный СМ

DK = CM

в) от точки А 1 вектор , равный АС

С

А 1 С 1 = АС

А

D

Домашнее задание

Стр. 84 – 85

№ 320 , 321(а) , 325.